Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 
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ist, mittels einer beschränkten Anzahl von Zahlzeichen er 
schöpfend darzustellen. 
Die Zahlenreihen (6) und (6') haben analoge Eigenschaften 
wie die Zahlenreihen (5) und (5') in 2. Weil a n sich von d n 
l 
W 
vermöge (7) um 
unterscheidet und jede später folgende 
Zahl a n+v zwischen a„ und d n fällt, so ist für jedes v 
(8) 
und kann dies durch Wahl von n kleiner gemacht werden als 
die beliebig kleine festgesetzte positive Zahl a. Jede Zahl in 
(6') ist größer als jede Zahl in (6); wie klein aber auch a 
angenommen wird, es lassen sich auf Grund von (7) immer 
zwei Zahlen, je eine aus den Reihen (6) und (6'), derart aus 
wählen, daß ihr Unterschied kleiner ist als e. 
Die durch das Zeichen y A vorgestellte Aufgabe bewirkt 
also eine Scheidung der rationalen Zahlen a n und d n , oder sie 
führt einen Schnitt zwischen den Zahlenreihen (6) und (6') 
herbei, und diesem Schnitt ordnet man die Lösung der obigen 
Aufgabe zu, nennt diese Lösung eine Zahl, jedoch zum Unter 
schiede von den rationalen Zahlen eine irrationale Zahl. 
Jede der Zahlenreihen (6) und (6') kann als Definition 
für die Zahl angesehen werden, welche die Lösung- der Auf 
gabe bildet, und zwar in dem Sinne, daß zwar keine der 
Zahlen a„, beziehungsweise a' n die Forderung erfüllt, zum 
Quadrat erhoben die Zahl A zu geben, daß sie dieser Forde 
rung jedoch um so genauer nachkommen, je weiter man in 
den Reihen fortschreitet, so daß schließlich der Unterschied 
zwischen A und a n 2 , beziehungsweise zwischen a' n 2 und A, 
kleiner wird und bei weiter zunehmendem n kleiner bleibt 
als eine beliebig kleine festgesetzte positive Zahl s. In diesem 
Sinne kann man auch sagen, die Zahl, welche die Lösung der 
Aufgabe ]/A gibt, sei der Grenzwert der Zahlenreihe (6) oder 
der Reihe (6'). 
Von dem besonderen hier betrachteten Falle abstrahierend 
sagt man von einer Aufgabe, welche zwei Folgen von ratio 
nalen Zahlen