Vierter Abschnitt. Reihen. 
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vielmehr soll dies nur unter einer sogleich zu entwickelnden Be 
dingung stattfinden. Vorher sei noch bemerkt, daß die Stetigkeit 
von f(z) in derselben Weise erklärt wird wie bei einer Funktion 
einer rellen Variablen, wobei man den absoluten Wert einer 
komplexen Zahl in dem in 6 angegebenen Sinne zu verstehen 
bat. Insbesondere ist leicht zu zeigen, daß f{z) stetig ist, so 
bald es u und v sind, was wir für den ganzen Bereich P vor 
aussetzen wollen. Überdies nehmen wir an, daß u, v daselbst 
auch stetige partielle Differentialquotienten nach x und y be 
sitzen. 
Als Funktion von x, y aufgefaßt, hat f{z) — u + vi- unter 
den gemachten Voraussetzungen in der durch die Winkel cp, ch 
gekennzeichneten Richtung den totalen Differentialquotienten 
(47): 
in bezug auf z also, weil dz = ds (cos cp -f i cos -ijj), den Diffe 
rentialquotienten : 
d w 
dz 
COS qp -f- i COS ty 
soll dieser unabhängig sein von der Richtung, nach welcher man 
sich in der ¿-Ebene von dem Punkte xjy aus bewegt, mit 
andern Worten: soll f(z) als Funktion von z an der betrach 
teten Stelle geradeso wie eine Funktion einer reellen Variablen 
nur einen bestimmten Differentialquotienten haben, so muß: 
1 
i 
sein; denn alsdann ist 
frei von cp, die obige Bedingung führt aber zu den Glei 
chungen : 
(2) 
du dv 
dx d y’ 
du dv 
dy dx