Vierter Abschnitt. Reihen. 
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die Mo i vre sehe Binomialformel*), zunächst gültig für jedes 
ganze n. 
104. Die Wurzel. Moivresche Binomialformel für 
rationale Exponenten. Die w-te Wurzel aus einer komplexen 
Zahl werde begrifflich ebenso aufgefaßt wie die Wurzel aus 
einer reellen Zahl; es sei also auch bei komplexem z und 
ganzem positiven n 
n /— 
y z = w 
nur dann, wenn 
w n = z. 
Setzt man w = u -f- iv = R(cos 0 + ¿sin 0), so führt dies 
vermöge des vorigen Artikels zu der Beziehung: 
R n (cos n0 i sin n 0) = r(cos cp + i sin Cp), 
welcher nur auf die eine Weise genügt werden kann, daß 
R n = r, 
n0 = cp-\-2xTt 
gesetzt wird, wobei jc jede positive wie negative ganze Zahl 
einschließlich der Null bedeuten darf. Hieraus ergibt sich 
qp —(— 2 %7C 
n 5 
0 
cp -j - 2 m Ti 
R = | yV |, 
daher ist 
(5) Y~z = l/r(cos ep Ri sin cp) =: y r 11 cos — (- % sin 
Der anscheinend unendlich vieldeutige Ausdruck auf der rechten 
Seite nimmt in Wirklichkeit nur n verschiedene Werte an, 
welche man erhält, wenn man der Reihe nach 
(6) % = 0, 1, 2, ...(%— 1) 
setzt. Die Verschiedenheit der aus diesen Substitutionen her 
vorgehenden Werte folgt daraus, daß die zugehörigen Werte 
von sämtlich in dem Intervalle (0, 2 7t) liegen und 
voneinander verschieden sind. Bezeichnet man ferner irgend 
eine Zahl der Reihe (6) mit a, so kann jede ganze Zahl 
außerhalb dieser Reihe durch 
pn -f- a 
*) Abraham de Moivre, Miscellanea analytica, London 1730.