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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Daraus folgt 
e? = = e a! e iy ; 
vermöge der Definition (11) ist aber 
i 2 • 3 • 4 • 5 
*y 
wegen der beständigen absoluten Konvergenz dieser Reibe sind 
notwendig auch die Reihen 
y 
1 • 2 • 3 • 4 
1 • 2 • 3 ■ 4 • 5 
beständig und absolut konvergent; als solche sind sie bereits 
in 96, (22) und (23), erkannt und cos^, respektive sin?/ als 
ihre Grenzwerte erwiesen worden; mithin ist 
(12) 
e* y = cos y -j- i sin y 
und 
(13) 
e c + i y = ^(cos y + i sin y). 
Die erste dieser beiden Formeln ist von Euler*) nach ihrer hohen 
Bedeutung für die Analysis gewürdigt worden. Formal gestattet 
sie, das Mo i vre sehe Binom cos 9? +«sing) in Form einer na 
türlichen Potenz mit imaginärem Exponenten, e i( f, darzustellen. 
Für den besonderen Wert y = 2jt gibt Formel (12) 
Die natürliche Potenz e z ist demnach eine eindeutige periodische 
Funktion von z und 2ni der Modul der Periode (32). Ist z 
rein imaginär = iy, so ist vermöge (12) der Modul von e iy 
bei jedem Werte von y die Einheit; ist z komplex =x-\-iy, 
so ist der Modul von e z auf Grund von (13) e*. 
Wegen der Periodizität von e z genügt es, um alle Werte 
der Funktion, deren sie fähig ist, zu erhalten, z ein Gebiet 
zuzuordnen, das dem x das Intervall (— 00, + 00), dem y das 
Intervall (0, 2%) zuweist, also einen Streifen der Ebene, welcher 
*) Introductio in Analysin infinitorum, 1748; deutsch von F. Maser, 
Berlin 1885. •