Vierter Abschnitt. Reihen. 
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von der #-Achse und einer zu ihr parallelen Geraden im Ab 
stande 2% begrenzt wird (Fig. 20). Zerlegt man die ganze 
Ebene in solche Streifen, so wieder 
holen sich die Werte von e% welche 
aus dem erstgenannten Streifen ent 
springen, in jedem anderen derart, 
daß e z ' = e% wenn zz YY, zz = 2 n 
oder ein positives oder negatives Viel 
faches hiervon ist. Die Ebene XOY 
ist daher unendlich vielfach auf die 
Ebene UOV abgebildet (102). 
Verbindet man die Gleichung (12) oder 
e ix = cos x -J- i sin x 
mit der aus ihr durch Zeichenänderung des x hervorgehenden 
e~ ix = cos x — i sin x 
Fig. 20. 
Y 
'tJli 
2Jli 
fZ 
0 
Y' 
durch Addition und Subtraktion, so ergeben sich die eben 
falls von Euler aufgestellten Formeln: 
(15) 
COS£ 
sin X 
ix I - 
e -f- 6 
J x Ä — l X 
2 i 
106. Der natürliche Logarithmus. Unter dem natür 
lichen Logarithmus der komplexen Variablen z = x + iy 
soll jede komplexe Variable w = u + iv verstanden werden, 
welche für alle Werte von x, y die Beziehung 
e w = z 
erfüllt; mit anderen Worten, wie bei reellen Variablen soll der 
natürliche Logarithmus die Umkehrung der natürlichen Potenz 
sein. Er möge mit Lz bezeichnet werden zum Unterschiede 
gegen den bisher allein betrachteten reellen Logarithmus einer 
reellen positiven Variablen x, der mit Ix bezeichnet worden ist. 
Aus 
e w = = e“(cos v + i sin v) — x + iy 
folgt aber nach dem Grundsätze, daß zwei komplexe Größen 
nur dann gleich sind, wenn die reellen Bestandteile und die 
Koeffizienten von i beiderseits übereinstimmen, daß