256 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
e u cos v — x 
e u sin v = y; 
daraus ergibt sich für den Modul von e w , d. i. für e u , der Wert 
e u = | ]/x 2 y 2 j, woraus u — l\ ]/x 2 -f- y 2 1; 
ferner 
x V L V 
G08V= , smv = —, tgv=—: 
e u ’ e u ’ 5 x 1 
bezeichnet also Are tg ~ jenen einzigen Bogen aus dem Inter 
valle (0, 2jt), dessen Tangens den Wert hat und dessen 
Kosinus, Sinus beziehungsweise mit x, y dem Zeichen nach 
übereinstimmen, so ist 
v = Are tg — 4- 2xn, 
wobei x jede positive und negative ganze Zahl mit Einschluß 
der Null bedeuten kann. 
Nachdem so die Elemente von w durch jene von z dar 
gestellt sind, hat man: 
(16) L(x -f- iy) = l \ ~]/x 2 -j- y l \ + i Are tg ^ -|- 2xni. 
Der natürliche Logarithmus einer komplexen Variahein ist dem 
nach eine unendlich vieldeutige Funktion, und aus einem seiner 
Werte ergibt sich jeder andere durch additive Hinzufügung eines 
entsprechenden Vielfachen von 2%i. 
Dieses Verhalten ist die notwendige Folge der Periodizität 
der natürlichen Potenz, aus welcher der natürliche Logarithmus 
durch Umkehrung hervorgeht (33). 
Weil die komplexe Variable auch die reelle und die rein 
imaginäre umfaßt, so gilt der eben ausgesprochene Satz auch 
für diese. 
Ist y = 0, so ist Are tg ~ entweder = 0 oder = jr, je nach 
dem x > 0 oder x < 0; man hat also: 
für x > 0, Lx — Ix + 2xni 
für x < 0 Lx = l \x\ + (2x 4- 1 )ni.