260 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
daraus ergibt sieb auf Grund von 106, (16): 
T 1 4- iz 1 7 £C 2 (1 — 2/) 2 I * A J- I o 
L , = — l o ~ + i Are tg 5 s 4- 2 um 
l — iz 2 ic 2 -)-(l -\-y) x 2 — y 2 
und hiermit 
I Arc tg(ic -f- iy) 
i 7 a: 2 + (1 -f y) 2 . 1 A , 2 x 
= -r Z -ns + "tt Are tg; « 1 + ^; 
4 ic 2 -f (1 — 2/) 2 — * —V 
dabei ist unter Are tg » 5 
& 1 — x 2 — y 2 
jener Bogen aus dem Intervalle 
2 ££ 
(0 ; 2n) zu verstehen, dessen Tangens, - _ x iZZ'~ß unc ^ dessen 
Sinus, Kosinus im Vorzeichen mit 2x, 1 — x 2 — y 2 respektive 
übereinstimmen. 
Der Arcustangens einer komplexen Variablen ist demnach 
eine unendlich vieldeutige Funktion; aus einem seiner Werte 
ergibt sich jeder andere durch additive Hinzufügung eines ent 
sprechenden Vielfachen von n. 
Die anderen zyklometrischen Funktionen führen ebenfalls 
auf den natürlichen Logarithmus zurück. Auch wenn w eine 
komplexe Zahl ist, gilt nämlich vermöge (17) die Gleichung: 
woraus 
e iw = cos w + i sin w, 
w 
4- L (cos w + i sin w) ; 
setzt man nun einmal sin w = z, ein zweitesmal cos w = z 7 so 
ergibt sich im ersten Falle 
Are sin z = -4- L (]/l — z 2 A iz) ; 
im zweiten Falle 
Are cos z = —r h(z i]/i — / 2 ), 
die Wurzel heidemal als zweideutige Größe aufgefaßt. Die 
Ausführung dieser Formeln in den Variablen x, y soll unter 
bleiben. Nur einige Bemerkungen mögen noch angefügt werden. 
Ist z reell und dem Betrage nach kleiner als 1, so ist auch 
]/l — z 2 reell und der Modul von V1- z 2 A ebenso wie 
der von z -j- iY 1 — z 2 gleich 1; infolgedessen entfällt vermöge 
106, (16) der logarithmische Teil und es bleibt ein reeller