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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
und Nenner des Bruches je für sich und wiederhole dies 
so oft, bis man im Zähler oder im Nenner za einem Bifferen- 
tialquotienten Jcommt, der für x = a nicht Null ist; je nachdem 
dies im Nenner zuerst oder im Zähler zuerst oder nach m 
Wiederholungen in beiden gleichzeitig eintritt, ist lim für 
lim x = a gleich Null, oder = oq oder — cp ^ 
xp( m \a) 
In dem letztgedachten Falle nimmt nicht allein 
9 (m " 1> («) - 
tur x = a die 
sondern nehmen auch 
cp’ (x) cp" (aj) 
—-—y ———, 
1\}' (x) Xp" (x) ' 
(»*-!) 
0») 
0 
unbestimmte Form ^ an und alle diese Quotienten haben den 
selben Grenzwert 
V m) (a)’ 
denn wendet man die Taylor sehe 
Formel auf cp^^a + h) und (a h), wo r < m, an, so wird 
wegen gc (r) (tt) = 0, (p ( - r + x \a) = (),... cp^ m ~ x \a) = 0 und tp^(a) = 0, 
^ (r+1) (a) = 0,. .. ^ m -^(a) = 0: 
<pW(a+6’h) 
1 - 2 ... (m — r) 
cp( r \a + h) 
und 
■) 
li m T (r) ( a + ^) =: i (ra) ( fl ) 
h = o -j-Ä) 
so daß man schreiben kann 
(4) f{d) = lim 
9>(®) 
lim 
lim 
qp" (a) 
= «^0*0 * = «?'(*) * = «^"0») 
Bisher wurde die kritische Stelle als im Endlichen liegend 
vorausgesetzt. Wenn aber cp(x), ip(x) mit beständig wachsen 
dem x, z. B. für lim x = -\- oc, gegen Null konvergieren, so 
nimmt ~~ für lim x = -f oo die Form ^ an, das durch (4) 
charakterisierte Verfahren der Grenzwerthestimmung bleibt aber 
9(4) 
bestehen. Setzt man nämlich x = —, so nimmt ■ die 
z ’ /1 \ 
*(t)