Vierter Abschnitt. Reihen. 
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von höherer Ordnung als jede noch so hohe algebraische 
Potenz x n mit positivem Exponenten. Daraus schließt man 
umgekehrt, daß 
x n 
lim — = 0. 
X 
(n > 0), 
Yon dieser Funktion läßt sich leicht schließen auf 
für n > 0 und lim x — -)- oo 5 denn setzt man l x = z, so wird 
x = e z und mit lim x = + oo zugleich lim z = + oo; die 
Funktion aber geht über in 
z 
nz 
n z 
n ■ e 
e 
infolgedessen ist 
(n > 0), 
Hiernach wird der natürliche und jeder Logarithmus, dessen 
Basis größer ist als 1, für lim x = + 00 unendlich groß von 
niedrigerer Ordnung als jede positive Potenz. 
Mit Hilfe der Differentialrechnung wird die Grenzwert 
bestimmung im vorliegenden Falle ebenso erledigt, wie bei 
der Form ° 0 • Zuerst soll dies unter der Voraussetzung gezeigt 
werden, daß lim x = + oo (oder — 00), und daß von einer 
Stelle X augefangen ip'{x) nicht mehr Null wird. Dann gilt 
der Satz, daß, sofern | einen Grenzwert A besitzt, ^ gegen 
denselben Grenzwert konvergiert. 
Sind nämlich x 0 , x (x 0 <x) zwei Werte der Variablen, 
welche dem Intervalle (X, 4- 00) angehören, so ist nach dem 
verallgemeinerten Mittelwertsatze (39): 
daraus schließt man weiter: 
cp (x) cp (x)_ cp' jx,) 
VOO 1 V ( x o) y'Gi) 
t <p Go)