Fünfter Abschnitt. Maxima und Minima der Funktionen. 283 
f{ 1 - S) = - 6 (5(1 - 8) < 0 
/•'(! + <?)= 6d(l + d)>0, 
an der Stelle x — 1 tritt also ein Minimum ein, und dasselbe 
ist f( 1) = 5 — 1. 
116. Unterscheidung zwischen Maximum und Mi 
nimum, Die Entscheidung kann einfacher getroffen werden, 
wenn die Funktion f{x) an jeder Stelle innerhalb (a, ß) auch 
einen eigentlichen zweiten Differentialquotienten f \x) besitzt 
und wenn dieser an der Stelle x = a nicht Null ist. Es gilt 
dann der Satz: Wenn /*"(«)< 0, so ist f(a) ein Maximum, 
und wenn f"{d) > 0, so ist f(a) ein Minimum. 
Ist nämlich f"(a) <0, so muß es eine Umgebung von a 
geben, in welcher auch 
f{a + h)-f(a) 
h ’ 
wovon ja f"{a) der Grenzwert für lim h = T 0 ist, negativ 
ist; wegen f(a) = 0 bleibt in dieser Umgebung auch 
h 
negativ; daher ist f(a + h) links von a positiv, rechts davon 
negativ, f(a) also in der Tat ein Maximum. 
Ist f"{u) > 0, so muß sich eine Umgebung von a be 
grenzen lassen, in welcher auch 
f(a + h)-f\a) 
h ’ 
oder das diesem gleichkommende 
h 
positiv bleibt; infolgedessen ist f'(a -f h) links von a negativ, 
rechts davon positiv, f(a) also tatsächlich ein Minimum. 
Wenn jedoch f"(a) = 0 ist, dann gilt zunächst der fol 
gende Satz: Ist f"(a) =-■ 0 und f"'(a) =)= 0, so ist f(a) kein 
Extrem; ist aber auch f"'{a) = 0, dagegen f l v (a) =[= 0, so ist 
f(a) ein Extrem und entscheidet das Vorzeichen von f lv (a) über 
die Art des Extrems nach derselben Regel, wie vorhin f'(a) ent 
schieden hat.