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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Wenn nämlich f"(a) = 0 und f"'(d) < 0, so sind die Kri 
terien dafür vorhanden, daß f(a) ein Maximum ist; da aber 
f(a) = 0 ist, so muß f(a -f- h) in gehöriger Nähe und zu beiden 
Seiten von a negativ sein; dann aber ist f(a) kein Extrem. 
In gleicher Weise schließt man aus f"(a) = 0 und > 0, 
daß f(a) = 0 ein Minimum ist, daß also f(a + Ji) in gehöriger 
Nähe und beiderseits von a positiv sein müsse, woraus folgt, 
daß f(a) kein Extrem ist. 
Der zweite Teil der Behauptung erweist sich folgender 
maßen als richtig. 
Aus f"'(a) = 0 und f IV {a)<i 0 schließt mau, daß f"(a) = 0 
ein Maximum ist, daß also eine Umgehung von a existiert, in 
welcher f"(a -)- Ji) negativ bleibt mit alleinigem Ausschluß von 
Ji — 0; in dieser selben Umgebung ist f'(a -f- Ji) abnehmend, 
und da f'(a) = 0, so ist f(a -f- h) links von a positiv, rechts 
davon negativ, infolgedessen f(a) ein Maximum, 
In analoger Weise ergibt sich, daß für f IV (a) > 0 f(a) 
ein Minimum ist. 
117. Allgemeines Kriterium. Um zu einem allgemeinen 
Kriterium für das Vorhandensein eines Extrems an einer Stelle 
x = a, an welcher f(x) = 0 ist, zu gelangen, machen wir die 
Voraussetzung, daß die Funktion f{x) endliche Differential- 
quotienten bis zur Ordnung n besitze, daß ferner außer 
f(a) = 0 auch 
/» = 0, f"\a) = 0,.. . = 0, 
während fW(a) 4= 0 sei; schließlich werde angenommen, daß 
außer den Differentialquotienten bis zur (n—l)-ten Ordnung, 
welche notwendig stetige Funktionen sind (21), auch der n-te 
Differentialquotient wenigstens in einer angebbaren Umgebung 
von a stetig sei. 
Unter diesen Voraussetzungen läßt die Funktion die An 
wendung der Ta}Torschen Formel zu, und diese (91, (6) und 
(7) gibt: 
f{a + Ä) = f{a) + h "’ (° < 9 < 1) 
woraus