tracht gezogenen Stelle. Eine Funktion mehrerer Variablen 
kann aber auch einen extremen Wert auf weisen an einer Stelle, 
für welche solche Differentialquotienten nicht bestehen; die 
Entscheidung über einen derartigen Fall bedarf immer einer 
besonderen Untersuchung. 
Es sei beispielsweise 
z = c + Y(x — af + \y — bf, 
und die Quadratwurzel gelte als positive Größe. Die partiellen 
Differentialquotienten von z, d. i. 
dz _ x — a dz _ y — h 
Y(x _ a)* 4- {y — 6j»’ öy~ ]/(x — a) 2 -\-(y — bj* 
verlieren ihre Bedeutung an der Stelle x = a, y = h. Setzt 
man aber x = a + h, y = & + h und bezeichnet die durch 
diesen Punkt und a/b bestimmte Richtung mit S, mit cp, ip 
ihre Richtungswinkel, so ist der totale Differentialquotient von 
z an der Stelle a + h/h + k 
dz h cos cp k cos ip 
ds ~ y h * ^ ’ 
derselbe ändert sein Vorzeichen, wenn h, li zugleich es ändern, 
d. h. wenn man auf S von einer Seite des Punktes a/b auf 
die andere übergeht. Deshalb gehört zu a/b ein extremer 
Wert und derselbe ist 
z = c; 
als der kleinste unter allen Werten von z ist er ein Minimum. 
Fünfter Abschnitt. Maxima nnd Minima der Funktionen. 317 
§ 3. Maxima und Minima von Funktionen mehrerer 
abhängiger Variablen. 
125. Begriff der relativen Extreme und ihre Be 
stimmung. Wenn von den extremen Werten einer Funktion 
f(x } y, z) dreier Variablen in dem bisher besprochenen Sinne 
die Rede ist, so kommen dabei alle Werte der Funktion in 
Betracht, welche sie in dem Gebiete R, für das sie gegeben 
ist, annimmt. 
Faßt man jedoch nur solche Werte der Funktion f(x, y, z) 
ins Auge, welche zu Verbindungen xjy/z gehören, die der 
Bedingungsgleichung 
(p(x, y,z) = 0