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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Genüge leisten, und stellt die Frage nach den extremen unter 
diesen Werten, so handelt es sich um ein von dem vorher 
gehenden verschiedenes Problem. 
Im ersten Falle galten die Variablen x, y, z als unab 
hängig, und ihr Gebiet war der ganze Raum R. In dem neuen 
Falle sind die Variablen abhängig voneinander, indem durch 
die Bediugungsgleichung <p(x, y, z) = 0 etwa z als Funktion 
von x darstellbar ist; ihr Gebiet ist eine den Raum R durch 
setzende Fläche (45). Man bezeichnet extreme Werte der ersten 
Art als absolute Extreme, extreme Werte der zweiten Art als 
relative oder bedingte Extreme. 
Würde neben der oben aufgestellten Bedingung den Wert 
verbindungen xjyjz, für welche fix, y, z) in Betracht gezogen 
wird, auch noch die weitere 
y, z) = 0 
auferlegt, so wäre die Beschränkung weitergehend als vorhin; 
jetzt könnten mittels cp(x, y, z) = 0 und iy(x, y, z) = 0 etwa 
y, z als Funktionen von x dargestellt werden, und das Gebiet 
der Variablen wäre eine den Raum R durchsetzende Kurve (46). 
Weiteren Bedingungen aber dürfen die Variablen x, y, z 
nicht unterworfen werden. 
Die Bestimmung relativer Extreme werde nun an einer 
stetigen Funktion fix, y, z, u) von vier Variablen erklärt, die 
zwei Bedingungsgleichungen: 
J?(£, y, z,u) = ö 
Wog y, 0, u) = 0 
unterworfen sind. 
Der eine Weg bestünde darin, daß man mit Hilfe der 
Gleichungen (1) zwei der Variablen, z. B. z, u, durch die beiden 
andern, x, y, ausdrückt und diese Ausdrücke in f{x, y, z, u) 
einträgt; dadurch geht f in eine Funktion der unabhängigen 
Variablen x, y über, die nunmehr nach früheren Methoden auf 
ihre absoluten Extreme zu untersuchen ist. 
Handelte es sich allgemein um eine Funktion von n Va 
riablen, die r (< n) Bedingungsgleichungen unterworfen sind, 
so würde durch den angedeuteten Eliminationsprozeß die Aufgabe