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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
verschwindet das totale Differential unabhängig von den Werten 
von dx, dy (122)5 an einer solchen Stelle ist also 
(6) 
Damit hiernach die Funktion f(x, y, z, u) unter Einhaltung 
der Bedingungen (1) einen extremen Wert erlange, müssen 
die Werte von x, y, z, u und die Werte der Multiplikatoren 
A, so gewählt werden, daß 
ff (oc, y, z, u) = 0 
ti>(x, y, z, u) = 0 
(7) 
sei; in der Tat sind diese 6 (allgemein r -f n) Gleichungen 
zur Bestimmung der genannten 6 (bzw. n -\- r) Größen gerade 
ausreichend. 
Die vier letzten Gleichungen des Systems (7) wären aber 
die notwendigen Bedingungen für die absoluten Extreme der 
Funktion 
fix, y, 3, u) -f l(p{x, y, z, u) + gtp(x, y, z, u), 
wenn man [i, 1 als konstante Zahlen voraussetzt. Man kann 
mithin den Satz aussprechen: Die Bedingungen dafür, daß die 
Funktion f unter Einhaltung der Gleichungen y — 0, ip = 0 
zwischen ihren Argumenten einen extremen Wert erlange, sind 
die nämlichen wie die Bedingungen für absolut extreme Werte 
der mit den Konstanten X, g gebildeten Funktion f'-f- Xcp + gtf. 
Wenn auch die Werte der Multiplikatoren X, g kein In 
teresse darbieten, so empfiehlt sich ihre Mitbestimmung doch 
in vielen Fällen um der Symmetrie der Rechnung willen.