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Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 
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ir Werte die Auf- 
q einem solchen 
izite als Funktion 
ktion gegenüber, 
Yariablen durch 
enoperationen zu 
sr Form y = f{x) 
m Ausdruck vor- 
•scheint (io). 
) allgemein, d. i. 
liesen aufzulösen, 
= ip{y) erhalten 
erten Funktionen 
ner Variablen, 
erlangen, welche 
len, schlagen wir 
bien x, y ist ein 
A v X ' L il v Fähen, 
und A uv (reelle) 
rationale ganze 
ter den Summen 
die größte der 
ßte der Zahlen v 
11 gleich, so ist 
Uion von x defi- 
Funktion von i/; 
>en unterschiede- 
leichung, welche 
ide, so ist y als 
innen noch zwei 
Koeffizient von y 
die Form 
mit ganzem positiven n\ y heißt jetzt eine rationale 
Funktion von x vom Grade n. Hat hingegen y einen 
abhängigen Koeffizienten, so wird die Auflösung nach y 
Gestalt 
V = 
a 0 x n -f- «fj x n 1 -f- 
-f u n 
b 0 x m + t>i x m 1 -f- 
“j“ t>r, 
ganze 
von x 
in der 
mit ganzem positiven n und m sich ergeben; dann nennt man 
y eine rationale gekrochene Funktion von x, und zwar eine echt 
gebrochene, wenn w<m; eine unecht gebrochene, wenn n m. 
Die unecht gebrochene Funktion läßt sich nach den Regeln 
der Arithmetik in eine ganze und eine echt gebrochene zer 
legen, indem man die durch den Bruch angezeigte Division 
so weit vollzieht, als im Quotienten nicht negative Potenzen 
von x auftreten. 
Ist die in Rede stehende Gleichung in bezug auf y vom 
zweiten oder höheren Grade, so wird das durch sie definierte y 
als eine irrationale Funktion von x bezeichnet. Die Art der 
Irrationalität richtet sich nach der Höhe des Grades; wenn der 
Grad zwei, drei oder vier, so läßt sich y mit Hilfe von Wurzel- 
ausziehungen durch x darstellen; übersteigt der Grad die Zahl 
vier, so ist (von besonderen Fällen abgesehen) die Darstellung 
durch Wurzelgrößen nicht möglich. 
Man kann hiernach die algebraischen Funktionen einer 
Variablen unterscheiden in rationale, ganze und gebrochene, 
und in irrationale, durch Wurzelgrößen darstellbare und solche, 
welche die Darstellung durch Wurzelgrößen nicht zulassen. 
Einige Beispiele mögen das Angeführte erläutern. Die 
Gleichung zweiten Grades 
Ax 2 + 2I)x -f 2Fy + F == 0 
bestimmt y als rationale ganze Funktion von x des zweiten 
Grades: 
y = a 0 x 2 + a x x -f a 2 , 
A T> F 
wobei a 0 = — -¡-ß, a x = — ^, a 2 = —- ist. Dagegen ist 
durch die Gleichung 
Ax 2 + 2Bxy -j- 2Bx + 2Ey + F = 0 
y zunächst als unecht gebrochene Funktion von x gegeben, 
nämlich