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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
§ 5. Die Länge eines Kurvenbogens und das 
Bogendifferential. 
150. Definition der Länge eines Kurvenbogens. 
Der Begriff der Länge eines Kurvenbogens gründet sieb auf die 
Vorstellung, daß es möglich sei, einem biegsamen nicht dehn 
baren Faden die Form des Bogens zu geben und ihn dann 
auszuspannen; in diesem Zustande gestattet er die Vergleichung 
mit einer Längeneinheit, was zur Bestimmung seiner Länge 
führt; diese Länge wird auch als Länge des Bogen erklärt. 
Diese Vorstellung läßt sich aber nicht analytisch ver 
werten. Um daher den Begriff der analytischen Behandlung- 
zugänglich zu machen, bedarf er einer von jener Vorstellung 
unabhängigen Definition, die aber notwendig zu der allein 
direkt ausführbaren Messung gerader Linien zurückleiten muß. 
Wir formulieren diese Definition folgendermaßen: 
Ein Kurvenbogen besitzt dann eine Länge, wenn die Länge 
eines von dem einen Endpunkte des Bogens zum anderen ver 
laufenden Sehnenzuges einem bestimmten Grenzwerte sich nähert, 
sobald die Zahl der Seiten dieses Zuges beständig wächst und 
jede einzelne Seite der Grenze Null zustrebt; dieser Grenzwert 
soll als Länge des Kurvenbogens erklärt 'werden. 
Der Nachweis, daß der Grenzwert besteht, sobald gewisse 
Bedingungen erfüllt sind, fällt in das Gebiet der Integral 
rechnung. Wir nehmen für die Kurven, welche wir in Betracht 
ziehen werden, diesen Grenzwert als vorhanden an. 
151. Das Bogendifferential 
Koordinaten. Es sei 
(1) 
V = f( x ) 
in rechtwinkligen 
die Gleichung einer gegebenen, auf 
rechtwinklige Koordinaten bezogenen 
Kurve MC (Fig. 66); die Länge s des 
Bogens M 0 M, welcher von einem festen 
Punkte M 0 und einem variablen Punkte 
M mit der Abszisse x begrenzt wird, 
ist eine eindeutige Funktion von x: