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Erster T eil. Differential-Rechnung. 
Differentiiert man die erste dieser Gleichungen, so ergibt sich 
zunächst 
{dx 0 — dx) dx -f (dy 0 — dy) dy + (x 0 — x)d 2 x + (y Q — y)d 2 y = 0, 
und dies reduziert sich im Hinblicke auf die zweite Gleichung 
auf 
(15) dx 0 dx -f dy 0 dy = 0, 
woraus 
(16) 
dy 0 = _ 1 
dx 0 d y 
dx 
Diese Gleichung besagt, daß die Tangenten in zusammen 
gehörigen Punkten der gegebenen Kurve und ihrer Evolute 
senkrecht aufeinander stehen; da nun der Punkt xjy 0 in der 
Normale des Punktes xjy liegt, so folgt daraus der Satz: Die 
Normalen der gegebenen Kurve sind Tangenten der Evolute. 
Ans den Gleichungen 154, (8): 
x 0 — X — Q COS V 
Vo — y = Q sin V, 
welche die Beziehungen zwischen den Koordinaten, dem Krüm 
mungshalbmesser und dem Richtungswinkel der Normale eines 
Punktes der gegebenen Kurve und den Koordinaten des zu 
geordneten Punktes der Evolute darstellen, erhält mau durch 
Differentiation:] 
dx 0 — dx= dg cos v — q sin vdv 
dy 0 —dy= dg sinv + q cos vdv’ 
bildet man die Summe dieser Gleichungen, nachdem man sie 
vorher quadriert hat, unter Rücksichtnahme auf (15), so ent 
steht : 
dx 0 2 -1- dy 2 + dx 2 -\- dy 2 = dg 2 + Q 2 dv 2 - : 
nun ist aber dx 0 2 dy 0 2 das Quadrat des Bogendifferentials ds 0 
der Evolute, dx 2 -f- dy 2 das Quadrat der zugeordneten Bogen 
differentials ds der gegebenen Kurve; da ferner der Winkel v 
der Normale mit der Abszissenachse dem Betrage nach um 
ebensoviel sich ändert wie der Winkel x der Tangente, so ist 
dv 2 =dx 2 \ daher läßt sich die letzte Gleichung in der Form 
ds 0 2 + ds 2 =d 9 2 + q 2 dt 2