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Erster Teil. Differenti al-Rechnung. 
Variable auffaßte. Schließen sich die reellen Teile der Zweige 
in anderer Weise zusammen, so geschieht dies immer so, daß 
sie hier eine und dieselbe Tangente haben (Fig. 82 a) und b)); 
die Erscheinung, welche dadurch zustande kommt, heißt Spitze*) 
der Kurve (1), und zwar Spitze erster Art, wenn sie die Form 
a) hat, und Spitze zweiter Art im Falle b). 
Daß die reellen Teile der Zweige nicht mit verschiedenen 
Tangenten von M Q ausgehen können, läßt sich folgendermaßen 
erkennen. Es ist eben gezeigt worden, daß bei einer alge 
braischen Kurve dort, wo ein reeller Ast beginnt, notwendig 
zugleich ein zweiter beginnen müsse. Differentiiert man die 
Gleichung (1) nach x, wodurch 
erhalten wird, und eliminiert man zwischen dieser Gleichung 
und (1) y, so ergibt sich wieder eine algebraische Gleichung: 
F{x, y) = 0 
welche den Verlauf der Tangente bei (1) darstellt; faßt man 
hier y als Ordinate auf, so kommt mau wieder zu einer alge 
braischen Kurve. Dem Zweige cp (Fig. 82) entspricht ein 
Zweig cp' dieser neuen Kurve und ebenso dem Zweige ein 
Zweig ip', und hätten cp, ip in 71 f 0 verschiedene Tangenten, so 
begännen die zugehörigen Zweige von Fix, y) = 0 bei x 0 an 
verschiedenen Stellen wie in Fig. 83, eine Erscheinung, die 
oben als unmöglich bei einer algebraischen Kurve erkannt wurde. 
*) Für die Spitze sind auch die Benennungen Rückkehrpunkt und 
stationärer Punkt gebräuchlich, von der geometrischen Anschauung her 
geleitet, daß ein die Kurve stetig durchlaufender Punkt dort angekom 
men umkehren, vorher einen Augenblick stillstehen muß.