Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 423 
Ist der Zweig 
V = 9>0») 
im ganzen Verlaufe imaginär, hat also cp(x) beständig die Form: 
u(x) + iv(x), 
wobei u(x), v(x) reelle Funktionen bedeuten, so gehört zu ihm 
aus bereits angeführten Gründen ein zweiter imaginärer Zweig 
V = H x ) 
derart, daß i>(x) die Form 
u(xj — iv(x) 
hat, so daß die zu einem speziellen Werte yon x gehörigen 
Werte von cp(x) und ik{x) jedesmal konjugiert komplex sind. 
Hat nun die Gleichung 
v (x) = 0 
reelle Wurzeln, und ist x 0 eine solche, so wird für sie sowohl 
(p(x) wie ip(x) reell und überdies 
•pW = *K%) “ u ( x o) = y^j 
so daß die imaginären Zweige den vereinzelten reellen Punkt 
x 0 /y 0 gemein haben; ein solcher Punkt wird als isolierter oder 
konjugierter Punkt der Kurve (1) bezeichnet. 
Damit sind die einfachsten besonderen Erscheinungen an 
gedeutet, welche bei algebraischen Kurven auftreten können. 
Man gibt den Punkten, welche hier als Knotenpunkt (oder 
Selbstberührungspunkt), Spitze und isolierter Punkt bezeichnet 
worden sind, den gemeinsamen Namen singuläre Punkte, welchen 
Namen alle Punkte erhalten, in welchen eine Kurve ein anderes 
Verhalten zeigt als das bei dem gewöhnlichen Punkte be 
schriebene.*) 
162. Analytische Charakteristik der singulären 
Punkte. Um die Natur eines Punktes x 0 /y 0 , welcher dem 
durch (1) dargestellten Gebilde angehört, festzustellen, schlagen 
wir folgenden Weg ein. 
*) Man zählt vielfach auch den Wendepunkt zu den singulären 
Punkten.