Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 453 
Die Gleichungen der Tangente im Punkte xlyjz sind: 
g — x _ 7\ — y _S—z 
— yz z{x— a) ay 
171. Bogendifferential einer Raumkurve. Die in 
150 aufgestellte Definition für die Länge eines ebenen Kurven 
bogens läßt sieb auch auf eine Raumkurve ausdebnen. Wir 
definieren die Länge eines Bogens M 0 M einer JRaumkurve als 
den Grenzwert eines in diesem Bogen von M 0 bis M ver 
laufenden Sebnenzuges bei beständig wachsender Zahl der 
Sehnen und Abnahme jeder einzelnen gegen die Grenze Null. 
Dieser Definition zufolge ist der Differentialquotient der 
Funktion s von u, welche die Bogenlänge ausdrückt, der Grenz 
wert des Quotienten aus der Sehne MM'=c durch die zu 
gehörige Änderung h von u für lim h = 0, d. h. es ist: 
denn diese Sehne kann als Seite des Sehnenzuges von M 0 bis 
M', also als Änderung der Länge des Sehnenzuges in M 0 M 
bei dem Fortschreiten von M zu M' aufgefaßt werden. Führt 
man die Division mit h unter der Wurzel aus und vollzieht 
dann den Grenzübergang, so ergibt sich 
Geschieht die Zählung des Bogens so, daß er mit u zugleich 
wächst, so ist die Quadratwurzel positiv zu nehmen. 
Daraus erhält man durch Multiplikation mit du das Logen 
differential, das, wenn die unabhängige Variable nicht ersicht 
lich gemacht wird, die Formel hat: 
ds =Ydx i + dy 2 -f- dz 2 . 
(9) 
Hiermit gestatten die Formeln 170, (6*) für die Rich 
tungskosinus der Tangente die Schreibweise: 
dz 
dx 
cos a =» -5— , 
ds 7 
(10) 
cos y = di 
Bei allgemeinen Untersuchungen empfiehlt es sich, der 
Einfachheit der Formeln wegen, den von einem festen Punkte