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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Hauptnormale senkrecht zur Erzeugenden der Zylinderfläche, 
die Binormale zur Erzeugenden unter einem konstanten Winkel 
geneigt und das Verhältnis der beiden Krümmungen für alle 
Punkte der Kurve konstant. 
§ 3. Tangenten und Tangentialebenen, Normalen und 
Normalebenen einer krummen Fläche. 
182. Analytische Darstellung krummer Flächen. 
Diejenige analytische Darstellung einer krummen Fläche, welcher 
wir zunächst begegnet sind (45) — sie ist die in älterer Zeit 
fast ausschließlich gebrauchte — besteht darin, daß im recht 
winkligen Koordinatensysteme z als Funktion der Variablen 
x, y gegeben ist: 
(1) e = f{x, y). 
Wo wir im Folgenden von dieser Darstellung Gebrauch machen, 
setzen wir voraus, daß die Funktion f nach der Taylor sehen 
Formel entwickelbar sei, mindestens bis zu den Gliedern zweiter 
Ordnung, daß sie also vollständige Differentialquotienten der 
zwei ersten Ordnungen besitze, für welche wir die allgemein 
üblichen Bezeichnungen gebrauchen werden: 
dz_ ebs _ d 2 z _ d 2 z i d 2 z 
dx ^’ dy dx 2 * ’ cxcy dy 2 
Allgemeiner als (1) ist die Gleichungsform: 
(2) F{x, y, z) = 0, 
Avelche z als implizite Funktion von x, y bestimmt; die Ab 
leitung der Differentialquotienten von z auf Grund dieser 
Gleichung ist in 59 erläutert worden. 
Zu der allgemeinsten Darstellung gelangt man von der 
geometrischen Erzeugung einer krummen Fläche durch stetige 
Bewegung und Formänderung einer Kurve ausgehend. Wenn 
die Koordinaten x, y, z eines veränderlichen Punktes M als 
stetige Funktionen eines Parameters u gegeben sind, so be 
schreibt M, indem u seinen Bereich stetig durchläuft, eine 
Kurve; und enthalten jene Funktionen noch einen zweiten 
Parameter v, in bezug auf welchen sie ebenfalls stetig sind, 
so beschreibt die Kurve, während v das ihm zugehörige Inter-