Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 479 
l werde 
die sich 
ron der 
so vollzieht sich die Elimination durch Multiplikation der 
ersten Gleichung mit q und nachherige Subtraktion; das Resul 
tat lautet: 
(8) g - z = — x ) + üiv ~ y)- 
inkt M r 
Der geometrische Ort der Tangenten, welche man an eine krumme 
Fläche in einem Punkte M legen kann, ist hiernach eine durch 
diesen Punkt gehende Ebene; man definiert sie als Tangential 
ebene der Fläche im Punkte M, nennt diesen den Tangential- 
von der 
hat die 
l M die 
Grenze; 
auf der 
3 P als 
imbaren 
oder Berührungspunkt; (8) ist die Gleichung der Ebene. 
Aus dieser Definition der Tangentialebene läßt sich eine 
andere ableiten, welche dem geometrischen Inhalte nach das 
Analogon zur Definition der Tangente an eine Kurve bildet. 
Nimmt man nämlich auf zwei durch M geführten Kurven je 
einen Punkt M', M" an, so konvergieren die Geraden MM', 
MM” bei beständiger Annäherung von M' und M” an M 
gegen die Tangenten jener Kurven im Punkte M, die Ebene 
MM'M” also hat die Tangentialebene zur Grenze, wenn 
nur die beiden Tangenten voneinander verschieden sind. 
Hiernach ist die Tangentialebene im Punkte M die Grenze 
einer durch M und zwei weitere Punkte M', M” der Fläche 
ne Tan- 
>en sich 
gelegten Ebene, wenn diese Punkte sich irgendwie, jedoch in ver 
schiedenen Pichtungen, dem Punkte M als Grenze nähern. 
Wäre die Fläche durch die Gleichung (2) gegeben, so 
hätte mau, um die Gleichung der Tangentialebene zu erhalten, 
p, q in (8) durch die Werte (60) 
dF dF 
dx dy 
p = -~Ff> q== ~l2 
dz dz 
zu be- 
(7) den 
igen zu 
zu ersetzen; dies führt zu der Gleichungsform 
(S) (6 - ®) äS + dy + № dz " °- 
Der Bestand der Gleichungen (8), (9) und damit zugleich 
die Existenz der Tangentialebene setzt voraus, daß p, q, be 
ziehungsweise ( ' [ bestimmte Größen sind und daß 
die drei letztgenannten nicht sämtlich Null sind; das Bestehen 
der Gleichungen