Um die Rückkehrkante zu bestimmen, hat mau zu den 
Gleichungen (A) noch jene Gleichung hinzuzufügen, die durch 
Differentiation der zweiten nach ß entsteht; diese Gleichung 
lautet aber 
x 
woraus x = 0 folgt; dies in die Gleichungen (A) eingeführt 
gibt auch noch y = 0 und z = 0. Die Rückkehrkante zieht 
sich also hier auf einen Punkt zusammen, der ein singulärer 
Punkt der Fläche ist. 
2) Die Einhüllende einer variablen Kugel zu ermitteln, 
deren Mittelpunkt sich stetig auf einer Geraden bewegt. 
Wählt man die Gerade zur z- Achse, so hat die Schar der 
Kugeln die Gleichung: 
+ y* + (> — u) 2 = 2 (p (u) ; 
Differentiation nach u ergibt: 
z — u — <jp'(w), 
woraus hervorgeht, daß die Charakteristik ein Kreis ist, dessen 
Ebene normal zur z- Achse ist und dessen Mittelpunkt in dieser 
Achse liegt. Löst man zum Zwecke der Elimination die zweite 
Gleichung nach u auf, so ergibt sich dafür eine Funktion von 
z, welche in die erste Gleichung eingetragen dieser schließlich 
die Form x 2 -f y 2 = f(z) oder, nach Umkehrung, 
(9) z = F(x 2 +y 2 ) 
verleiht. Dies ist also die allgemeine Gleichung der Rotations 
flächen, deren Rotationsachse die ¿-Achse ist. 
3) Die Einhüllende einer Kugel konstanten Halbmessers, 
deren Mittelpunkt auf einer gegebenen Kurve sich bewegt, 
nennt man Böhrenfläche, die Kurve heißt ihre Achse. 
Sind 
x 0 = X(u) 
Vo = r(«) 
¿o = Z(u) 
die Gleichungen der Achse, so hat die Kugelschar die Gleichung; 
(x - x 0 ) 2 + (y - y 0 ) 2 +{z~ ¿ 0 ) 2 - r 2 ; 
fügt man dazu die durch Differentiation nach u entstandene: