nende, je nach- 
*aar zusammen- 
der Ebene zu, 
»rdinatensystem 
ihstes Bild der 
;hts steigender 
o. Funktion ein 
Fig. 3). 
itinuen, welche 
^ert jedes fol- 
ist, und die 
erden, so ist y 
Ind wachsende 
nde Funktion 
istes Bild wird 
an Zusammen 
sein von Kur- 
Pormen Fig. 2 
isammensetzen, 
Fig. 4, welche 
entspricht, die 
B) durchläuft, 
zhnet man als 
he Funktionen. 
mögen einige 
mngen häufige 
Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 
33 
1) Wenn die Funktion f(x) in dem Intervall (cc, ß) stetig 
ist, so läßt sich zu einem beliebig klein festgesetzten positiven s 
an jeder Stelle x = a innerhalb des Intervalls ein hinreichend 
kleines positives rj festsetzen derart, daß für jedes x aus dem 
Intervall (a — rj, a + rf) die Beziehung besteht 
l/’O') —/*(«)!< £ - 
Der Wert f(a) gehöre dem Kontinuum (A, B) an; s sei 
klein genug festgesetzt, daß auch f(a) — s und f(af -f- e dem 
Kontinuum angehören; diesen Funktionswerten entsprechen Werte 
der Variablen aus dem Intervall (cc, ß), die sich in der Form 
a — h, a + h' oder a + h, a — h' darstellen lassen, je nach 
dem die Funktion in dem Kontinuum (A, B) wachsend oder 
abnehmend ist; ist h die kleinere der beiden positiven Zahlen 
h, h\ so genügt jedes rj, das zwischen 0 und h liegt, der 
obigen Forderung. 
An den Endstellen x — a, x = ß ist nur zu einer Seite 
ein Intervall von der gedachten Eigenschaft feststellbar 
(cc, a -f rf) links, (ß — rj, ß) rechts. 
Diese Eigenschaft der stetigen Funktion wird als „Stetig 
keit an der Stelle x = a u bezeichnet und häufig zum Aus 
gangspunkt für die analytische Definition der Stetigkeit ge 
nommen, indem man erklärt, eine Funktion, welche an jeder 
Stelle des Intervalls (cc, ß) die erwähnte Eigenschaft besitzt, 
sei stetig in dem ganzen Intervall. 
Bezeichnet x" einen zweiten Wert von x aus dem Intervall 
(a — rj, a -f rf), so ist neben 
I f{ x ’)—f\ a ) 1 < * 
auch 
somit 
I /“0") - f(fl) I < 
\f(x")-f(x) \ < 2 £ ; 
es ist also eine Folge der Stetigkeit, daß sich zu jeder Stelle 
a des Intervalls (cc, ß) eine hinreichend enge Umgebung 
(a — rj, a -f- rf bestimmen läßt derart, daß irgend zwei 
Funktionswerte aus dieser Umgebung eine Differenz geben, 
deren Betrag unter einer beliebig klein festgesetzten positiven 
Zahl 2 s liegt. Dieses Verhalten pflegt man auch so auszu 
drücken, daß bei einer stetigen Funktion an jeder Stelle zu 
Czuber, Vorlesungen. I. 2. Aufl. 3