Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 501 
Fläche der ersten Art zugleich Tangentialebene in unendlich 
vielen anderen Punkten ist, während sie hei einer Fläche der 
zweiten Art — von Ausnahmefällen abgesehen — nur in dein 
einem Punkte berührt. Es entsteht die Frage, wie sich dieser 
Unterschied analytisch ausdrückt, mit anderen Worten, welche 
besonderen Eigenschaften der Funktion f{x, y) zukommen, die 
die Applikate z einer developpablen Fläche darstellt. 
Die erste der Gleichungen (13), als Gleichung einer Tan 
gentialebene an die durch die beiden ersten Gleichungen dar 
gestellte abwickelbare Fläche aufgefaßt, enthält außer den ver 
änderlichen Koordinaten nur einen Parameter in den Koeffi 
zienten. Denkt man sich daher die Gleichung der Tangential 
ebene an eine solche Fläche in der Form 
£_ jp(|_ x ) + q(jj y) 
oder 
+ qri — £ -f 0 — px — qy = 0 
geschrieben, so sind die Koeffizienten p, q, z—px — qy nur 
von einem Parameter abhängig; daher hängen auch p, q von 
einander ab, d. h. es ist 
(22) q = <p{p)- 
Diese Gleichung, in welcher cp eine willkürliche Funktion be 
deutet, charakterisiert also die abwickelbaren Flächen und wird 
als Differentialgleichung erster Ordnung dieser Flächengattung be 
zeichnet, weil sie eine Beziehung zwischen Differentialquotienten 
erster Ordnung darstellt. 
Man kann indessen aus (22) noch eine andere für die ab 
wickelbaren Flächen charakteristische Gleichung ableiten, welche 
frei ist von einer willkürlichen Funktion. Differentiiert man 
nämlich (22) einmal nach x, dann nach y, so ergeben sich 
die Gleichungen: 
s = <p' P (p) r 
t = y' P (p) s 
und durch Division Aveiter s - = — oder 
t s 
(23) s 2 = 0. 
Diese Gleichung (vgl. 184), welche eine Beziehung ausdrückt, 
die für jeden Punkt einer developpablen Fläche zwischen den