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Erster Teil. Differential-Rechnung, 
die Rückkehrkante der Polarfläclie ist also eine mit der ge 
gebenen Schraubenlinie in gleichem Sinne gewundene Schrauben- 
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Knie auf einem Zylinder vom Halbmesser —; während die 
erste durch einen Punkt der positiven ¿r-Ach.se geht, schneidet 
die zweite die negative x-Achse; in der Ganghöhe stimmt sie 
mit der ursprünglichen überein. 
Die Polarfläche einer Schraubenlinie ist demnach eine ab 
wickelbare Schraubenfläche. 
200. Evoluten der Raumkurven. Die Polarfläclie 
einer Kurve C ist der Ort ihrer Evoluten. 
Versteht man nämlich unter einer Evolute der Kurve C 
jede Kurve, deren Tangenten Normalen von C sind, so besitzt 
die Kurve C unzählig viele Evoluten, die notwendig auf ihrer 
Polarfläche liegen müssen. 
Ist nämlich C eine Evolute von C, M' ein Punkt der 
selben und M' M die Tangente in diesem Punkte an C' und 
zugleich Normale in M zur Kurve C, so erfolgt, sobald M 
auf C sich zu bewegen beginnt, eine momentane Drehung von 
MM' um den Punkt fff'; gleichzeitig dreht sich die Normal 
ebene von M augenblicklich um die Krümmungsachse des Punktes 
M; soll demnach M M normal bleiben zur Kurve C, so muß 
M' auf der Krümmungsachse liegen. Es gehört also der einem 
beliebigen Punkte M zugeordnete Punkt M' der Evolute der 
Krümmungsachse von M an, folglich liegt die ganze Evolute 
auf der Polarfläche. 
Um die Evoluten analytisch zu charakterisieren, seien die 
Koordinaten des Punktes M' einer solchen mit x, y, z, sein 
Abstand von der Oskulationsebene mit 
<5 bezeichnet mit der Festsetzung, daß 
6 positiv oder negativ ist, je nachdem 
die Strecke QM' (Fig. 105) die po 
sitive oder negative Richtung der Bi- 
normale hat; für den Punkt M werden 
alle bisher eingeführten Bezeichnungen 
beibehalten. 
Die Koordinatendifferenzen der 
Fig. 105.