Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 
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Damit ist die Stetigkeit von x m an der beliebigen Stelle a, 
also die durchgehende Stetigkeit dieser Funktion erwiesen. 
Es folgt daraus auch die Stetigkeit jeder ganzen Funktion 
von x. 
Zu beachten ist, daß die obere Grenze von H ahhängt 
von e und a. 
2) Wenn die Funktion f(x) stetig ist in dem Intervall 
(«, ß), so läßt sich zu einem beliebig klein festgesetzten positiven 
s ein hinreichend kleines positives rj bestimmen derart, daß für 
jede zwei Werte x, x aus {u, ß), für welche | x — x' ( < rj, die 
Beziehung besteht 
1 f(x) ~ /■(>') I < 
Es werde zunächst vorausgesetzt, die Funktion sei mono 
ton, z. B. wachsend, und (A, B) ihr Bereich. Man teile den 
selben in so viele gleiche Teile, daß jeder Teil kleiner ist 
als die Anzahl der Teile sei n, so daß — — = k < 4 • 
2 7 7 n 2 
Zu den Funktionswerten 
/■(«), /'(>) + k, f{a) -f 2k, ... f(a) + w — 17c, f(ß) 
sollen der Reihe nach die (ebenfalls steigend geordneten) Werte 
x 0 = a x X} x tt ... x n _ x , x n =ß 
der Variablen x gehören; je zwei benachbarte dieser Werte 
bestimmen ein Intervall und das kleinste unter diesen n Inter 
vallen sei gleich h; dann genügt jedes r t , das zwischen 0 und 
h liegt und rj = h selbst der obigen Forderung. Denn nimmt 
man irgend zwei Werte x, x an, für welche | x — x | <| h, so 
fallen sie entweder in ein und dasselbe Teilintervall (x it x i+ f) 
oder in zwei benachbarte (x i _ X) xf) und (x i} x i+x )\ im ersten 
Falle ist 
\ fix)-f{x) 1 < y; 
im zweiten Falle 
I f{x) - f{xf) 1 < | 
1 fix) - fixf | < y, 
daher 
I f(p) - /■(«') I < £; 
in jedem Falle ist also | f(x) — f(x) \ < £, sobald \ x — x \ <jh. 
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