Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 521 
ds =y dx* -f dy 2 + dz 2 
= ]/(1 + p 2 ) dx 2 -f (1 -f cf)dy 2 -f- 2pqdxdy 
der Kurve dividiert, die Beziehung 
(4) 
cos y = p cos a + q cos ß 
zwischen den Richtungskosinus der Tangente MT. 
Durch Differentiation von (4) in bezug auf s erhält man 
unter Zuhilfenahme der Fren et sehen Formeln: 
, / dx . dy\ 
+ D*w—b s/ cos a 
\ds ds 
p cos 2 -f- q cos g 
Q 
Q 
oder 
p cos 2 — q cos fi -f- cos v 
r cos 2 a 2 s cos a cos ß -f t cos 2 ß. 
Q 
Es sind aber (186, (18)) 
(5) ~ p ~ q - 1 
\P* -r r -r 1 ; Vp 2 + T j t l’ Vp* + T + i’ 
wenn die Quadratwurzel positiv genommen wird, die Kosinus 
für diejenige Richtung MN der Flächennormale in M, welche 
mit der £-Achse einen spitzen Winkel einschließt; cos X, cos g, 
cos v hingegen die Kosinus der positiven Richtung MH der 
Hauptnormale von 6' in M\ demnach bedeutet 
p cos 2 — q cos y -(- cos v 
Vp 2 + <T +1 
den Kosinus des Winkel 6 der genannten zwei Richtungen. 
Hiermit aber geht die letzte Formel über in: 
.„s cos 6 r cos 2 a -)- 2s cos a. cos ß t cos 2 ß 
Vp 2 -r V -t- i 
Q 
Dies ist die Grundgleichung für die Krümmungstheorie der 
Flächen. 
Von den in dieser Formel auftretenden Größen beziehen 
sich p, q, r, s, t auf den Punkt M als Punkt der Fläche und 
bleiben für alle durch ihn gezogenen Kurven die nämlichen; 
a, ß bestimmen die Richtung der Tangente an die Kurve, 0 
die Neigung ihrer Schmiegungsebene gegen die Normale der 
Fläche.