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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
ß behält für alle Normalschnitte durch M dasselbe Vor 
zeichen, die Konkavität ist also bei allen nach derselben Seite 
gewendet, wenn (121, 184) 
(9) r t — s 2 > 0 
ist. In einem solchen Punkt, in dessen Umgebung die Fläche 
ganz zu einer Seite der Tangentialebene liegt, bezeichnet man 
sie als konvex. 
jv wechselt während der Drehung des Normalschnittes um 
die Normale, und zwar zweimal, durch Null gehend, sein Vor 
zeichen, wenn 
(10) rt — s 2 < 0 
ist. Ein Teil der Normalschnitte wendet die Konkavität nach 
der einen, der andere Teil nach der entgegengesetzten Richtung 
der Normale, und ebenso liegt die Fläche in der Umgebung 
von M zum Teil auf der einen, zum Teil auf der anderen 
Seite der Tangentialebene. In einem solchen Punkte bezeichnet 
man die Fläche als konkav-konvex. Die Grenze zwischen den 
beiden Arten von Normalschnitten wird durch zwei Normal 
schnitte gebildet, deren Krümmung Null ist, welche also in M 
einen Wendepunkt haben. 
In dem Grenzfalle, wo 
(11) rt - s 2 = 0, 
der Zähler auf der rechten Seite von (8) also ein vollständiges 
Quadrat ist, behält ^ auch beständig dasselbe Vorzeichen bei, 
verschwindet aber für eine bestimmte Lage des Normalschnittes. 
Es liegt nun nahe, nach denjenigen Normalschnitten zu 
fragen, für welche die Krümmung einen extremen Wert an 
nimmt. Um diese Untersuchung einfach zu gestalten, trans 
formieren wir das Koordinatensystem derart, daß sein Ursprung 
mit ilf, die positive ¿-Achse mit der Normale MN, die Tan 
gentialebene also mit der xy-Ebene zusammenfällt; den Winkel, 
welchen die positive Richtung MT der Tangente mit der posi 
tiven Richtung der x-Achse im neuen System einschließt, nennen 
wir co. Dann tritt in der Formel (8) co an die Stelle von a,