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Erster Teil. Differential-Rechnung.
Ist die Funktion abwechselnd wachsend und abnehmend, Koni
so führe man die beschriebene Operation für jeden ihrer Werl
monotonen Abschnitte aus; das kleinste unter den gefundenen Kom
h genügt für den ganzen Verlauf der gestellten Forderung.
o o o o _ nimn
Man bezeichnet diese Eigenschaft gewöhnlich als „gleich- Yarr
mäßige Stetigkeit“; wie die vorstehende Betrachtung zeigt, deste
ist sie eine notwendige Folge der Stetigkeit in dem Inter-
Tal1 (“>£>■. .... ist m
Als Beispiel einer Funktion, bei der sich unmittelbar die
gleichmäßige Stetigkeit erweisen läßt, betrachten wir f(x) = sinx. , \
“ . . ° w ivelch
Es ist
f (x) — / [x ) — sin x — sin x = z cos —~— sin — 2 ~—;
da nun 1 der größte absolute Wert des Kosinus ist und der
Sinus, wie klein auch der Bogen, immer kleiner bleibt als dieser, nimm
so hat man im vorliegenden Falle: orene
weil (
I f{ x ) ~ f( x ) \<\x — x'\-
1
wählt man also \x — x |<£, so ist auch, und zwar im ganzen tinui
Verlaufe der Funktion, ^
| sin x — sin x \ < s, va u
und dadurch ist die gleichmäßige Stetigkeit dargetan. in der
3) Wenn die Funktion f(x) in dem Intervall (a, ß) stetig zeigen
ist und an den Endstellen desselben verschiedene Werte besitzt, E
so gibt es zu jeder Zahl M zwischen f(a) = A und f(ß) = 15 a und
mindestens eine Stelle x in (cc, ß) derart, daß 1'
fix) = M.
Ist zunächst die Funktion monoton, so ist (A, B) ihr
Bereich und sie nimmt jeden Wert aus (A, B) und jeden nur d h I
einmal an, folglich auch den Wert M, der nach Voraussetzung dieselb
zwischen A und B liegt; zu ihm gehört ein Wert x aus (a, ß), Funkti
und es ist in der Tat einmal f{x) = M. ständio
Wechseln dagegen Wachstum und Abnahme miteinander a i so
ab, und durchläuft die Funktion der Reihe nach die Kontinua Umgeb
(A, C), (C, JD), . . . (K, B), so muß M mindestens in einem
derselben Vorkommen; denn ist A < B und wären die Werte amita
aus allen Kontinuen unter M, so könnte der über AI liegende beziehu
Wert B nicht erreicht werden; wären die Werte aus den konveri
