Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 531 
merken ist, daß in dem mittleren dieser drei Fälle das % der 
Gleichung (20) einmal einen positiven, einmal den gleichgroßen 
negativen Wert erhalten muß. 
Es darf jedoch nicht übersehen werden, daß die Gleichung 
(20) nur für die nächste Umgebung von M Geltung hat; sie 
darf auf den ganzen Schnitt der Ebene z = % mit der Fläche 
nur dann angewendet werden, wenn derselbe eine sehr geringe 
Ausdehnung hat, wie dies bei elliptischen Punkten zutreifen 
wird; in den anderen Fällen, die sich hei hyperbolischen und 
parabolischen Punkten ergeben, charakterisiert sie bloß den 
dem Punkte M zunächst liegenden Teil des Schnittes. 
Mit diesen Einschränkungen darf man den Satz aussprechen, 
daß der Durchschnitt einer krummen Fläche mit einer zur Tan 
gentialebene in M parallelen und ihr sehr nahen Ebene eine der 
Dup in sehen Indikatrix ähnliche Figur sei. 
Man pflegt diesen Durchschnitt auch als Indikatrix des 
Punktes M zu bezeichnen. 
Kehren wir nochmals zu der entwickelten Flächen- 
gleichung (19): 
e = y {?%*+ 2sxy'+ ty 2 ) + €, 
zurück. Setzt man darin z = 0, so ist 
(21) 0 == rx 2 -f- 2sxy + ty 2 -\- 
die Gleichung des Schnittes der Fläche mit der xy-Ebene, 
d. i. mit der Tangentialebene im Punkte M. 
Nach den Darlegungen in 162 ist für diesen Schnitt der 
Punkt M ein Doppelpunkt, und zwar ein Knotenpunkt, wenn 
rt — s 2 <0, ' 
wenn also M ein hyperbolischer Punkt ist; die Tangenten in 
ihm fallen mit den Asymptoten der Indikatrix zusammen, weil 
die Gleichung, welche diese Tangenten bestimmt, d. i. 
rx 2 2 sxy + ty 2 = 0, 
das Unendlichwerden von 11 zur Folge hat (203, (12)). 
Der Punkt M ist für die Schnittkurve ein isolierter Punkt, 
wenn 
rt — s 2 > 0, 
d. h. wenn M ein elliptischer Punkt ist. Da hier alle Be- 
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