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Erstei- Teil. Differential-Rechnung. 
rt — s 2 Null ist. Aus dieser Bemerkung lassen sich die drei 
Arten von Flächeupunkten (203—204) aufs neue ableiten. 
Man kann den beiden Gleichungen (26) und (27) mittels 
folgender Substitutionen eine einfache Form erteilen; setzt man 
nämlich 
(1 + (f)r — pqs ^ _ (1 + q*)s—pqt 
(28) 
w a 
(1 -f p 2 ) 6' ■ 
■pqr 
W° 
B 2 = 
(1 +p*)t—pqs 
so schreibt sich die Gleichung (26): 
(26*) B x cos 2 a — (A x — B 2 ) cos a cos ß — Ä 2 cos 2 /3 = 0 
und die Gleichung (27): 
(27*) ^ ^ + 
i>l B% 
An dieser Form läßt sich leicht erweisen, daß beide 
Gleichungen immer reelle Wurzeln ergeben. Es ist nämlich 
die Diskriminante der ersten Gleichung: 
D = {A X -B. 2 ) 2 +4:A 2 B X , 
die der zweiten: 
(A + A) 3 - HAB,- AA) - (A - AY + 4A A - B, 
die Diskriminanten stimmen also überein, und hat man nach 
gewiesen, daß B positiv ist, so folgt daraus die Realität der 
Wurzeln beider Gleichungen. Nun ergibt sich aus (28), daß 
(1 + p 2 ) Ä 2 — (1 + q 2 )B x = { (1 + q 2 )pqr — (1 -f p 2 )pqt \ 
(Ai - = ¿8 {(1 + q 2 )pqr - (1 +p 2 )pqt], 
daher ist 
(1 + p 2 )A 2 = (1 + q 2 )B x + {A x - BJpq 
und infolgedessen 
(1 + p*)D - (1 +J>»)(A- A) 3 + 4(1 + «W 
(29) 
= (A- A) 3 + [p(A - %,) + 2«A > + AB*-, 
es läßt sich also (1 p 2 )JD als Summe dreier Quadrate dar 
stellen und deshalb ist auch D eine positive Größe.