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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Hierzu ist folgendes zu bemerken. Die Normalen der 
Fläche sind, gleichgültig ob der Punkt ein elliptischer oder 
hyperbolischer ist, insgesamt nach einer und derselben Seite 
der Fläche zu wenden. Das Element S ist so einzurichten, 
daß innerhalb und am Rande desselben keine zwei Normalen 
parallel sind, damit nicht zwei verschiedene Punkte der Fläche 
sich in dem nämlichen Punkte der Kugel abbilden. Unter 
diesen Festsetzungen werden bei einem elliptischen Punkte die 
Umfänge von S und E in gleichem Sinne durchlaufen, bei 
einem hyperbolischen Punkte in entgegengesetztem Sinne. 
Ist die Fläche abwickelbar, so schneidet die Erzeugende, 
welche durch einen Punkt des Umfanges von S geht, diesen 
Umfang noch ein zweitesmal, und die beiden so bestimmten 
Punkte des Umfanges bilden sich in einem Punkte der Kugel 
ab; infolgedessen reduziert sich das ganze sphärische Bild von 
S auf eine Linie, deren Inhalt gleich Null ist; eine abwickel 
bare Fläche bat daher in jedem Punkte 
die Krümmung Null (wie eine Ebene). 
Um den Ausdruck für die Krümmung 
in M zu erhalten, führen wir durch M 
die beiden Krümmungslinien K 2 (Fig. 
115) und außer diesen zwei weitere Krüm 
mungslinien K t ', K 2 '- K t und K x ' wie auch 
K 2 und K 2 gehören derselben Schar an. Das von diesen vier 
Krümmungslinien begrenzte Element S = kann dann 
bei entsprechender Kleinheit wie ein ebenes Rechteck durch 
S = M M t ■ MM 2 
Sein sphärisches Bild wird gleich 
haben und sich dem Inhalte nach durch 
Big. 115 
ausgedrückt werden, 
falls rechte Winkel 
E = № 
ausdrücken lassen. Bezeichnet man weiter den Winkel der 
Normalen in M und M 1 mit t 1 , den Krümmungshalbmesser 
des in M berührenden Hauptnormalschnittes mit den 
Winkel der Normalen in M und M 2 mit r 2 und den Krümmungs 
halbmesser des K 2 in M berührenden Hauptnormalschnittes 
mit R 2 : so ist, je enger die Krümmungslinien zusammenrücken, 
um so genauer