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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Tangentialebenen; die Einhüllende dieser Ebenenschar ist eine 
abwickelbare Fläche. Man nennt sie die der Fläche längs der 
Kurve C umschriebene Developpable. 
Wäre die gegebene Fläche selbst abwickelbar, so würde 
die ihr längs irgend einer Kurve umschriebene Developpable 
mit ihr zusammenfallen. Dieser Fall böte kein weiteres 
Interesse, wir setzen daher die Fläche als nichtabwickelbar 
voraus. 
Die umschriebene Developpable ist im allgemeinen von 
der Tangentenfläche der Kurve C verschieden; fällt sie aber mit 
ihr zusammen, so heißt die Kurve eine asymptotische Linie 
der Fläche. 
Da die Tangentenfläche die Oskulationsebenen der Kurve 
einhüllt, so kann man auch die folgende Definition aufstellen: 
Eine auf einer Fläche liegende Kurve A heißt asymptotische 
Linie der Fläche, wenn in jedem Punkte von A die Oskulations- 
ebene der Kurve mit der Tangentialebene der Fläche zusammen 
fällt. 
Es sei M ein Punkt irgend einer Kurve C auf der Fläche; 
die Tangentialebene der Fläche daselbst hat die Gleichung: 
(12) i)(|-a0 + 2fa —y)-(£-*) —0, 
in welcher x, y, p, q als Funktionen eines Parameters darstell 
bar sind; differentiiert man zum Zwecke der Bestimmung der 
Einhüllenden nach diesem Parameter, so ergibt sich: 
(13) dp ■ (| — x) + dq ■ (ji — y) = 0, 
weil — pdx — qdy dz = 0 ist. Die Gleichungen (12) und 
(13) zusammen stellen die Charakteristik dar und können auch 
in der Form: 
I — x = n — y = t — % 
dq —dp pdq — qdp 
geschrieben werden; hieraus folgt, wenn man die Koordinaten 
eines unendlich benachbarten Punktes von M auf der Charak 
teristik mit x -f d x x, y + d x y, z + d x z bezeichnet, daß: 
(14) d x x : d x y : d x z = dq : — dp : (_pdq — qdp). 
Zwei Richtungen wie dx : dy : dz und d x x : d x y : d x z, die 
der Relation (14) genügen und durch zwei Tangenten der Fläche