Sechster Abschnitt. Anwendung der Differential-Rechnung usw. 551 
vertreten sind, nennt man konjugiert, weil derartige Tangenten 
paare in der Indikatrix des Punktes M als konjugierte Durch 
messer erscheinen. 
Für die ^«/-Projektion solcher Richtungen ergibt sich aus 
(14) die Relation: 
dpd x x + dqd x y = 0, 
oder, wenn mau für dp, dq die Werte setzt: 
(14*) rdxd 1 x + s{d t xdy -f dxd x y) -f- tdydpy = 0. 
Nach der Definition wird nun C zu einer asymptotischen 
Linie A, wenn die Charakteristik mit der Tangente an C zu 
sammenfällt, wenn also die zwei Richtungen in (14*) sich ver 
einigen. Demnach hat jede Linie A der Gleichung 
(15) rdx 2 -f 2 sdxdy + tdy^ = 0 
zu genügen; man nennt diese die Differentialgleichung der 
asymptotischen Linien. Die geometrische Eigenschaft, die sie 
zum Ausdruck bringt, ergibt sich durch folgende Betrachtung. 
Der Normalschnitt der Fläche, welcher die Kurve A im 
Punkte M berührt, hat die Krümmung (203, (8)) 
1 r COS 2 CC 2 S COS CC cos ß -(- t cos 2 ß 
B F/f -f r + 1 
laut (15) aber ist 
r cos 2 cc -f 2 s cos a cos ß -f t cos 2 ß = 0, 
folglich auch 
Eine asymptotische Linie berührt also in jedem Funkte einen 
Normalschnitt von der Krümmung Null. 
Solche Normalschnitte existieren jedoch nur in hyperbo 
lischen und in parabolischen Punkten. 
In einem hyperbolischen Punkte gibt es solcher Normal 
schnitte zwei, und ihre Tangenten sind die Asymptoten der 
Dupinschen Indikatrix (204). Auf einer Fläche oder einer 
Flächenregion mit hyperbolischen Funkten lassen sich also zwei 
Scharen von asymptotischen Linien verzeichnen; in jedem Funkte 
schneiden sich zwei Linien, aus jeder Schar eine, und ihre