Erster Abschnitt. Variable und Funktionen. 
39 
V 
e a unstetig oder 
)ringe von h auf 
ng von a kon- 
i x, x" aus der- 
chen Wert a bei 
je lim x = a — 0 
bei dem andern 
lestimmtem Vör 
ie Funktion auf 
Funktion; wäre 
ervall {a, a) als 
i f(d) = b setzt, 
einer Seite des- 
den Wert a bei 
0 für f(x) der 
in a, und zwar 
Unendlichkeits- 
Ile a, wenn bei 
oder bei beiden 
h hier von ein- 
iben werden, 
ktion f(x) eine 
mnt man einen 
hen, auch einen 
ihungen müssen 
ausgeschlossen 
daß aus dem 
Umgebung des 
Sind fix), g(x) zwei in dem Intervall (cc, ß) stetige Funk 
tionen, so sind auch die Funktionen f{x)+g(x), f(x) — g (x) 
und f{x) g(x) in demselben Intervall stetig, wie sich mit Hilfe 
der unter 17 2) angegebenen analytischen Definition der Stetig 
keit ohne Mühe und nicht bloß für zwei, sondern für jede 
endliche Anzahl von Funktionen erweisen läßt. Yon der Funk 
tion ^ ^ gilt dies jedoch nur dann, wenn im ganzen Intervall 
(cc, ß) | g(x) 1 > 0 ist; wird dagegen an einer oder an mehre 
ren Stellen g{x) = 0, so ist an diesen die Funktion 
m 
g(x) 
nicht 
definiert und muß ihr Verhalten in der Umgebung solcher 
Stellen näher untersucht werden. 
19. Beispiele. Zur Erläuterung der Betrachtungen über 
die Stetigkeit oder Unstetigkeit der Funktionen mögen die 
folgenden Beispiele dienen. 
1) Die Funktion y = sina; ist durchaus stetig; denn wäh 
rend (Fig. 5, wo der Kreis mit dem Halbmesser = Längen 
einheit beschrieben ist) der Punkt M den Kreis von M 0 aus 
stetig durchläuft, die Variable x also 
das Kontinuum (0, 2n) beschreibt, Fi s- 5 - 
durchläuft der Punkt P oder der Wert 
von y die Kontinua (0, 1), (1, — 1), 
.(— 1, 0). Wegen der Periodizität 
zeigt die Punktion dasselbe Verhalten - 
auf dem ganzen Bereich der unbe 
schränkten Variablen x. (Den analy 
tischen Nachweis der gleichmäßigen 
Stetigkeit vgl. 17 2.) 
Dasselbe gilt von der Funktion y = cos x, welche die 
Kontinua (1, — 1), (—1, 1) beschreibt, während x das Inter 
vall (0, 2 n) stetig durchläuft. 
Die übrigen trigonometrischen Funktionen 
tg x = 
sin X 
COSiC ’ 
cotg x = 
COS X 
sina? ’ 
1 
sec x = , 
cos« 7 
1 
cosec x = ——, 
sm« 7 
da sie sich aus den vorgenannten mittels der Division bilden 
lassen, sind überall dort nicht definiert, wo der jeweilige Nenner 
Null wird, und besitzen daselbst Unendlichkeitspunkte von der