Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 43 
Variablen. 
is Differential. 
tienten. Bei der 
Funktion ist eine 
ichtet, welche der 
Wertes der Variablen 
ß) gegebene stetige 
x sei zunächst ein 
en. Bei dem Über 
wert ebenfalls dem 
m f(x) in f(x + h) 
dem beschriebenen 
Ser bei einem fest 
kleiner bei einem 
i ergibt; ein Maß 
df (x) D ifferenzen 
origen Werte der 
mz der Variablen, 
len Quotienten (1) 
Der Differenzenquotient erfordert zu seiner Bildung zwei 
Stellen aus dem Bereich der Punktion; läßt man die zweite 
Stelle x -f h unaufhörlich der ersten, h also dem Grenzwerte 
Null sich nähern, so nähert sich vermöge der Stetigkeit von 
f{x) auch der Zähler der Grenze Null; man hat es dann mit 
dem Quotienten zweier unendlich klein werdenden Größen zu 
tun, welcher je nach der Ordnung dieser Größen entweder 
einer bestimmten von Null verschiedenen Grenze, oder der 
Grenze 0, oder der Grenze oo (mit bestimmtem oder unbe 
stimmtem Vorzeichen) zustrebt oder auch unbestimmt bleibt. 
In den drei erstgedachten Fällen, wo ein Grenzwert (im weite 
sten Sinne des Wortes) existiert, nennt man diesen Grenzwert 
den Differentialquotienten, die Ableitung oder die Derivierte der 
Funktion f(x) an der Stelle x; er ist ein Maß für die Stärke 
der Änderung der Funktion an dieser Stelle. 
Es sind jedoch drei verschiedene Arten des Grenzüber 
ganges von Ji zu unterscheiden, nämlich 
I. lim h = -f- 0 
II. lim h = — 0 
III. lim h = + 0. 
Der Grenzwert, der bei dem Grenzübergange I. zustande kommt, 
wird der rechte Differentialquotient genannt; sein Wert sei X'; 
der aus dem Grenzübergange II. resultierende heißt der linke 
Differentialquotient; sein Wert sei X". Ist nun X' =(= X", so 
müssen diese beiden Differentialquotienten wohl voneinander 
unterschieden werden und ist der Grenzübergang III. illusorisch. 
Dieser Fall gehört jedoch zu den Ausnahmen; die Regel ist 
vielmehr, daß X' = X"; dann aber brauchen die beiden Grenz 
übergänge I. und II. nicht voneinander unterschieden zu werden; 
an ihre Stelle tritt der Grenzübergang III. und der durch den 
selben gewonnene Grenzwert X soll vollständiger oder eigent 
licher Differentialquotient oder Differentialquotient schlechtweg 
genannt werden. 
In der Folge wird also, wenn von dem Differential 
quotienten einer Funktion an einer Stelle ihres Bereiches ge 
sprochen wird, immer der durch den Grenzübergang III. ge 
wonnene, also