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Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 49 
ad f{x-\-h) zustande 
rkeit, mit welcher x 
-t voa 
T 
welcher sich f(x) im 
m Bereich bewegt; 
{x + h)~ f(x) 
x 
c 
vergiert, so ist der 
ichwindigkeiten, mit 
ugenblicke in ihren 
Satz aufstellen: Der 
einer Stelle x ist die 
tion an dieser Stelle 
'g mit der Geschwin- 
(x) = y als Ordinate 
Koordinatensystem; 
3rvall (a, ß) stetig 
q Abszissen OP = x 
- h entsprechenden 
jesitzen die Ordiua- 
ind P'M' = f(x -f- h) 
?ine Sekante, deren 
en Winkel QMS=cp 
i möge; dann ist 
ton bei Begründung 
i den Principia mathe- 
; Vorstellung des Va 
riablen Fluenten und 
Infinitesimalrechnung 
erentialquotienten der 
obigen Darlegung. 
Konvergiert h gegen die Grenze Null, so nähert sich M' längs 
der Kurve dem Punkte M, und die Gerade MS dreht sich um 
den Punkt M. Die Aussage, der Differenzenquotient kon 
vergiere dabei gegen einen bestimmten Grenzwert, ist gleich 
bedeutend mit der Aussage, die Sekante nähere sich einer 
Grenzlage; diese Grenzlage MT nennt man die Tangente an die 
Kurve im Punkte iüf; wird ihre Richtung durch den Winkel 
QMT = a bestimmt, so ist 
Um 
i —u ft h 
tg «• 
Ist also y = f(x) die auf ein rechtwinldiges Koordinaten 
system bezogene Gleichung einer Kurve, so hat der zu einem 
Werte x gehörige Differentialquotient f (x) die Bedeutung der 
trigonometrischen Tangente jenes Winkels, welchen die Tangente 
an die Kurve in dem zur Abszisse x gehörigen Punkte mit der 
positiven Richtung der Abszissenachse einschließt*). 
Die Existenz eines vollständigen Differentialquotienten an 
der Stelle x oder, was dasselbe bedeutet, die Übereinstimmung 
des vorwärts genommenen Differentialquotienten mit dem rück 
wärts genommenen hat die geometrische Bedeutung, daß sich 
die Sekanten, welche die Kurve rechts von M schneiden, der 
selben Grenzlage nähern wie die links von M schneidenden, 
daß also die Kurve im Punkte M nur eine Tangente besitzt. 
Auf die eben ausgeführte Betrachtung gründet sich die Aus 
sage, eine Tangente habe mit der Kurve zwei vereinigt liegende 
Punkte, welche zusammen den Berührungspunkt ausmachen, 
gemein. 
23. Begriff des Differentials. Der begriffliche In 
halt der Gleichung 
lim f±±R±m =r r x) 
/<=±0 h 1 W ’ 
welche den Differentialquotienten von f{x) an der Stelle x 
definiert, ist der, daß die Differenz 
*) Daa Problem der Tangentenbestimmung bei einer ebenen Kurve 
bildete bei Leibniz den Ausgangspunkt für die Erfindung der Diffe 
rentialrechnung (erste Publikation 1684 in den Leipziger Acta erudito- 
rum), der er auch den Namen gegeben. 
Czuber, Vorlesungen. I. 2. Aufl. 
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