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hnung. 
) 
i unter einen beliebig 
bezeichnet man hier- 
e mit h zugleich un- 
-f- iÄ 
ien: 
Ix. 
wird der zweite ein 
er erste, sobald f (x) 
Wert hat, da 
= 0; 
oiderung D f{x), und 
erential der Funktion 
aach ist zunächst 
nktion f{x) = x an, 
iderung“ und „Diffe- 
; auch Differenzen- 
mmen ; nach dieser 
einer Funktion das 
lit dem Differential 
e dar, deren Unter 
dion durch gehörige 
etzterer Größe dem 
kann, indem zufolge 
Zweiter Abschnitt. Differentiation von Funktionen einer Variablen. 51 
Die aus der Definitionsgleichung (9) gezogene Folgerung 
Jf(x) 
hat nur die Bedeutung, es sei f\x) der Grenzwert von ^ 
bei gegen Null konvergierendem Dx und Dfix). Auf ihr be 
ruht der Name „Differentialquotient“ (Quotient aus dem Diffe 
rential der Funktion durch das Differential der Variablen) und 
die von Leibniz dafür eingeführte Bezeichnung ■ • 
Aus der Gleichung (9) erklärt sich auch die für den 
Differentialquotienten von Lacroix*) eingeführte Bezeichnung 
„Differentialkoeffizient“ (= Koeffizient des Differentials dx), 
die heute noch in englischen Schriften üblich ist. 
Die Bestimmung des Differentialquotienten einer Funktion 
und ihres Differentials laufen hiernach im Wesen auf dasselbe 
hinaus; indessen ist ersteres die primäre Aufgabe, ihre Durch 
führung wird als Differentiation der Funktion bezeichnet. 
In den beiden Fällen von 22 hat das Differential folgende 
Bedeutung. 
Ist fix) der in der Zeit x zurückgelegte Weg, also f\x) 
die im letzten Augenblicke dieser Zeit herrschende Geschwin 
digkeit, so stellt das Differential df(x) = f ix) dx den in dem 
Zeitintervall ix, x + dx) beschriebenen Weg um so genauer 
dar, je kleiner dx, und es läßt sich dx so klein wählen, daß 
der Unterschied zwischen dem wirklich zurückgelegten Weg 
Df{x) und diesem dfix) im Verhältnis zu dx dem Betrage 
nach beliebig klein werde. 
Wird fix) in den Ordinaten einer Kurve zur Darstellung 
gebracht, so ist dfix) = f\x) • dx = dx • tg a = QR (Fig. 6) 
die Änderung, welche die Ordinate der Tangente bei dem Über 
gange von x zu x + dx erfahrt; dies unterscheidet sich von 
der Änderung der Ordinate der Kurve, von Dfix) — QM', 
um so weniger, je kleiner dx, und wieder kann dx so ein 
geschränkt werden, daß das Verhältnis — üfÜ _ ü'ü 
dem Betrage nach beliebig klein wird. 
*) Traité du Calcul Différentiel et du Calcul Intégral, I. Band 
(1810), p. 240.