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Erster Teil. Differential-Rechnung. 
Konvergiert an einer Stelle x gegen die Grenze Null, 
Ax 
rig. 7. 
so hat den Grenzwert oo und umgekehrt: ist also an einer 
Ay ö 5 
Stelle x: I) x f{x) = 0, so hat cp (y) an der entsprechenden Stelle 
y einen unendlichen Differentialquotienten und umgekehrt. 
Die Ergebnisse erlangen anschauliche Bedeutung, wenn 
man y = f(x) als Gleichung einer Kurve (Fig. 7) auffaßt; die 
selbe Kurve ist auch durch die Gleichung x = cp (y) dargestellt 
und der Unterschied beider Darstellungen 
liegt lediglich darin, daß das erstemal x f 
das zweitemal y als die unabhängige 
Veränderliche aufgefaßt wird*). Der 
Differentialquotient D x f(x) ist die tri 
gonometrische Tangente des Winkels a, 
welchen die Tangente MT mit der posi 
tiven Richtung der Abszissenachse bildet, 
D y cp{y) die trigonometrische Tangente des Winkels &, welchen 
dieselbe Tangente mit der positiven Richtung der Ordinaten- 
achse einschließt, und da « -f & = |-, so ist tg a • tg h = 1; 
dies also ist der geometrische Inhalt der Formel (12). Wird 
in einem Punkte, wie E, J) x f(x) = 0, so ist dort die Tangente 
parallel zur Ahszissenachse, also normal zur Ordinatenachse, 
folglich D y cp{y) — oo an dieser Stelle; und wird, wie in F, 
D x f(x) = oo, so ist die Tangente normal zur Abszissenachse, 
also parallel zur Ordinatenachse, daher D y cp [y) = 0 an dieser 
Stelle. 
Wendet man die Formel (12) auf den Fall y — x m , 
i 
x = y m an, wo unter m eine positive ganze Zahl, unter x m 
der positive reelle Wert von yTr verstanden wird und x auf 
positive Werte beschränkt bleiben muß, wenn m eine gerade 
*) Um die Figur bei der Darstellung x — cp{y) in solche Lage zu 
bringen, daß positive Werte von y auf der rechten Seite der horizon 
talen und positive Werte von x auf der oberen Seite der vertikalen Achse 
gezählt werden, konstruiere man das Spiegelbild der Kurve in bezug 
auf die Halbierungslinie des Winkels XOY.