58 Erster Teil. Differential-Rechnung. 
zwischen diesen drei Differenzenquotienten besteht aber die 
Beziehung 
Ay Ay Au 
Ax Au Ax 
und bleibt bestehen, wie klein auch Ax werden möge; somit 
besteht auch zwischen den Grenzwerten die Beziehung 
(15) D x y = D u y D x u. 
Wäre v = i>(x), u = cp (v), y = f(u), y also durch zwei 
fache Vermittlung eine Funktion von x, so ergäbe sich durch 
ähnliche Schlüsse 
(16) D x y = D u y- D v u-D x v. 
Um also eine Variable y, welche durch mehrfache eindeutige Ver 
mittlung von u, v, iv, .. . z mit der Variablen x zusammenhängt, 
nach dieser letzteren zu differentiieren, bilde man der Beihe nach 
die Differentialquotienten von y nach u, von u nach v, von v 
nach iv, ... schließlich von z nach x, die alle als vorhanden 
vorausgesetzt werden; dann ist der Differentialquotient von y 
nach x gleich dem Produkte aller dieser Differentialquotienten. 
Die Formel (7) erweist sich als ein besonderer Fall der 
Formel (15), wenn man u = f(x) und y = u n setzt. 
Nimmt man in (15) u = ax -f- b, ?/ = u n , wo n nun jede 
rationale Zahl bedeuten kann, so ist (2l) 
D x (ax -f b) n = na (ax + b) n ~ 1 . 
§ 3. Differentialquotienten der elementaren Funktionen. 
29. Die Potenz. Im \erlaufe des letzten Paragraphen 
wurde für die Differentiation der Potenz y = x n die für jeden 
rationalen Exponenten n geltende Formel: 
(1) D x x n = nx n ~ 1 
abgeleitet. Bei negativem n ist der Wert x = 0 als Unstetig 
keitspunkt auszuschließen. 
Diese Formel in Verbindung mit den Sätzen des vorigen 
Paragraphen setzt uns in den Stand, alle expliziten algebrai 
schen Funktionen zu differentiieren.