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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
255. Rationale Funktionen trigonometrischer 
Funktionen. Das Integral einer rationalen Funktion von 
sin x, cos x, tg x, cotg x, • • • 
läßt sich immer auf das Integral einer rationalen algebraischen 
Funktion zurückführen; die dazu dienliche Substitution richtet 
sich nach den unter dem Integralzeichen auftretenden trigono 
metrischen Funktionen und nach der Art ihres Vorkommens. 
Einige Fälle dieser Art sind im Nachstehenden dargestellt, 
a) Eine immer zum Ziele führende Substitution ist 
(a) 
denn daraus folgt 
9 a 
3* __ 
2 
COS X = cos“ 
sin“ — = cos* 
(>-<) 
sm x 
c . X X 
2sm — cos — 
2 2 
2 cos 2 y tg x 
tgx 
2t 
dx 
J 2 , cotg X = 
2 dt 
2 
1 — i 2 
2 t 
1 — t* 
1 + 
2t 
l-fi 2 
1 + i* 7 
so daß alle Bestandteile rational in t ausgedrückt sind. Hier 
nach ist also 
ism#, cosx, • • -)dx 
(W) Jf(f 
2 ßi 
2t 
I dt 
'r+7 s 7 
l+t 2 ’ l-fi 27 
und weil f rational ist, so bezieht sich die rechts yor- 
geschriebene Integration auf ein rationales algebraisches 
Differential. 
Beispiele. 1) Es ist 
/ dx 
COSiC 
Mt-) 
/< 
dx 
a cos x -f- h sin x 
1 d{ic-f-6) 
]/a 2 -f b*J sin(ic -f 0) 
“(t—) 
- , *8(t + t)+°5 
— —f 
Yod+Vj si 
— l *e (f-y) + c 
dx 
sin 9 cos x -j- cos 0 sin x 
¿tg + c, 
y« 2 -f& 2 6 2 ?