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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
ist es am einfachsten, tg x = t zu setzen, indem dann 
^ / /‘(tg x)dx= J fit) 
Beispiel. 4) In dem besonderen Falle j * 
(17) 
wird 
diese Substitution auf das algebraische Integral 
a + b tg x 
führt 
dt 
(1 + i 2 ) (a + bt) ’ 
die Zerlegung der gebrochenen Funktion liefert 
1 a — ht , ft 2 
+ 
(1 -M 2 )(a + fci) (« 2 +& 2 )(l + i 2 ) ' (a 2 -f & 2 )(a-f ht)* 
woraus sich 
/. 
(1 + t*){a-\-ht) «*+&* 1 ( a + ^ 2(a 2 + tr } 1 (•* + ^ 
4- 9 - a 7 , arctff t 
und schließlich 
/ dx ctx . h -i / | i • \ . y-y 
—rri— = ,, H—9 , & t (a cos x 4 0 sin x) 4- G 
a-\-bigx a 2 -\-b 2 a*-\-b 2 v ' 
ergibt. 
Das vorliegende Integral läßt sich indessen auch mit Um 
gehung jeder Substitution ermitteln; es ist nämlich 
b f = f- 
J a + btgx Je 
b cos x dx 
-f 
a, big x 
l — a sin« -j- b cos x) dx 
a cos x 4~ h sin x 
, , sin xdx 
4- Cb 
r si 
1 1 -— 
J «cos; 
x 4- b sin x ’ 
a cos x 4- b sin x 
multipliziert man diese Gleichung mit h und addiert beiderseits 
9 P cos xdx 
er I — 
J a ' 
cos x -\-b sin X 
hinzu, so entsteht 
(a 2 -f b 2 )rj+bigx ~ b ^ i a cos x b sm x) -f ax -\- C, 
woraus für das Integral derselbe Ausdruck hervorgeht, wie er 
oben gefunden wurde. 
256. Reduktionsformeln für f nn m x cos” x dx. Das 
Integral einer rationalen ganzen Funktion von sin#, cos#, 
tg#, cotg#, , . . löst sich in Integrale von der Form