‘ •' „ ...... J, 
Dritter Abschnitt. 
Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 
§ 1. Wertbestimmung und Schätzung bestimmter Integrale, 
261. Auswertung von Integralen mittels des Haupt 
satzes der Integralrechnung. Die Auswertung eines be 
stimmten Integrals gestaltet sich dann am einfachsten, wenn 
die unbestimmte Integration in endlicher Form sich vollziehen 
läßt, d. h. wenn eine in dem Integrationsinteryalle (a, b) stetige, 
durch einen geschlossenen analytischen Ausdruck dargestellte 
Funktion F{x) angegeben werden kann, deren Differential 
quotient an jeder Stelle durch den Wert der zu integrierenden 
Funktion f(x) bestimmt ist; nach dem Hauptsatze der Integral- 
Rechnung (224) ist nämlich in diesem Falle 
(1) 
Jf(x) dx = F(b) —F(d), 
so daß es also nur auf die Ausrechnung und Subtraktion 
zweier besonderen Werte der Funktion F(x) ankommt. 
Im Vergleich zu der unerschöpflichen Mannigfaltigkeit von 
Formen, welche die Funktion f(x) anzunehmen vermag, ist die 
Zahl der Fälle, wo von diesem Verfahren Gebrauch gemacht 
werden kann, allerdings eine sehr kleine; die Anwendungen 
der Analysis auf Geometrie und Mechanik führen aber solche 
Fälle häufig genug herbei, und einige Integralformeln, welche 
auf diesem Wege abgeleitet werden können, treten sowohl in 
den Anwendungen wie in der weiteren Entwicklung der Theorie 
so oft auf, daß es sich empfiehlt, sie hier zusammenzustellen. 
Beispiele. 1) Bei n > 0 und beliebigen a und b ist 
(2) 
0 
/■ 
'dx = 
ji+1 
Ul +1 
,« +1 
+ 1. 
n -(- 1