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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
2 _ 2 
0 0 
7t 
Y 
- n - n - J*sm n ~ 2 xdx- 
o 
für n = 2 p gibt p-mal wiederholte Anwendung dieser Re 
duktionsformel 
(15) 
/■ 
sin**xda - (2p ~ 1} (8p-8)---i 
Sm xax ~ 2p • {2p — 2) • • • 2 2 7 
für fl = 2p -(- 1 erhält man unter Berücksichtigung von (11) 
(16) 
/ 8i 
sin 2p+1 xdx = 
2 p (2p — 2) 
(2p+l) {2p 1) • • • 8 
Bemerkenswert ist die Transzendenz des Resultates im 
ersten gegenüber seiner Rationalität im zweiten Falle. 
Mit Hilfe der Formeln (15) und (16) läßt sich die 
transzendente Zahl y zwischen beliebig enge rationale Grenzen 
einschließen. In dem Intervalle ^0,-yj ist nämlich 
sin 2 ^- 1 X sin 2 ^ X sin 2jP+1 X , 
wobei das Gleichheitszeichen nur an den Grenzen des Intervalls 
Geltung hat; daraus folgt (222, 6)), daß 
n Tt n 
Y Y Y 
J*nn 2p ~ 1 xdx > J*sin 2p xdx > j sin 2p+1 xdx, 
also 
2.4 . • . {2p — 2) 1 • 3 ... {2p — 1) tc_ ^ 2-4 — 2 p 
3 • 5 - - • {2p —1) 
woraus 
2-2-4 — {2p — 2) 2p 
2 • 4 • ■ • 2 p 2 3-5 {2p + 1) f 
2 • 2 - 4 - - - 2p - 2p 
1 - 3 - 3 {2p 1) {2p- — 1) ^ 2 ^ 1-3-3 {2p —1) {2p -f 1) T 
nun ist die obere Grenze