Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 115 
zu integrierende Funktion f(x) einschließen derart, daß für 
alle Werte von x, für die a x h, 
<P i x ) ^ f( x ) ^ t(%), 
wobei jedoch die Gleichheitszeichen nicht durchgehends gelten, 
so ist dem angezogenen Satze zufolge auch 
(20) 
U u u 
I cp (x) dx <jf(x) dx < J*tp(x) dx. 
Lassen sich die Werte der beiden äußeren Integrale be 
stimmen, so sind damit Grenzen für das vorgelegte Integral 
gewonnen. 
Beispiele. 1) Es ist die mittlere Krümmung und der 
mittlere Krümmungsradius der Normalschnitte für einen Punkt 
einer krummen Fläche zu bestimmen. 
Dem Eulerschen Satze (203, (15)) zufolge drückt sich die 
Krümmung eines Normalschnittes durch die Krümmungen 
n R ° 
R t > R 
welche 
aus, daß 
der beiden Hauptnormalschnitte und den Winkel co, 
1 
5T 
welchen die zu und gehörigen Ebenen bilden, derart 
R 
1 
R 
COS ‘co surra 
R 1 ' i? ä 
Da ~ alle Werte annimmt, deren es fähig ist, während co das 
H 
Intervall (O, ^ j durchläuft, so ist die mittlere Krümmung 
/1\ 1 /Vcos 2 « , sin 2 ra\ , 1 / 1 . 1 \ 
<* U) - v / hr + ~sr) dm ~ t br+id - 
o 
also gleich dem arithmetischen Mittel der Krümmungen der 
Hauptnormalschnitte (212). 
Für den mittleren Krümmungsradius ergibt sich dagegen 
der Ausdruck 
(i(B) = 
cos 1 tu sin ffl 
-Z?i 
R 9