Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 117 
die Funktion 
0, endlich, 
td, so hat man 
geometrischen 
Ausschluß der 
mit Ausschluß 
! 
dcp 
-f- (1 — x ä ) sin 2 qp ’ 
d. i. nach 261, 9) 
</ 
dcp 
< 
Y± — sc 2 sin 2 qp 2~\/l 
die Grenzen liegen um so enger beisammen, je näher jc an 
Null ist. 
263. Der erste Mittelwertsatz. Die zu integrierende 
Funktion lasse sich in zwei Faktoren <p(x), ^{x) zerlegen; 
von beiden setzen wir voraus, daß sie in dem Integrations 
intervalle (a, b) einschließlich der Grenzen endlich und stetig 
bleiben, von dem einen Faktor, z. B. ip(x), überdies, daß er 
daselbst nirgends negativ (oder positiv) sei. 
Bezeichnet nun m den kleinsten, M den größten der 
Werte, welche y(x) in (a, b) annimmt, so ist für alle Werte 
von x aus diesem Intervalle 
m cp (x) < M, 
wobei das Gleichheitszeichen nicht durchgehends Geltung hat; 
für solche Werte von x ist also auch, wenn */>(x) beständig- 
positiv, 
mip(x) cp(x)ip(x) Mxp (x) 
und daher 
b h b 
(21) dx <J*tp(x)ijj(x) dx < mJ xp(x) dx. 
Demnach gibt es notwendig eine zwischen m und M 
gelegene Zahl pc von solcher Beschaffenheit, daß geradezu 
(22) 
6 * 
J cp (¿r) xp (x) dx = fi I i\}(x)dx. 
a a 
Weil cp{x) als stetig vorausgesetzt wurde, so erreicht es den 
Wert pc auch sicher mindestens an einer zwischen a, h ge 
legenen Stelle | = a + d(b — a), [0 < 0 < 1], so daß 
b b 
(23) f cp(x)il>(x)dx = cp(t,)Jip(x)dx. 
a a