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Zweiter Teil. Integral-Rechnung 1 . 
Der Inhalt dieser Formel wird als der zweite Mittelwertsatz*) 
bezeichnet. Für cp (x) = 1 lautet sie 
b 
(26) dx = {% — a)if>(a) -f (6 — |)^(&) 
und hat dann, wenn man x^{x) als die zur Abszisse x ge 
hörige Ordinate auffaßt, einen einfachen geometrischen Aus 
druck, Sie besagt, daß sich die von einer 
niemals fallenden (oder niemals steigen 
den) Kurve CD (Fig. 118) begrenzte 
Fläche ABDC als Summe zweier Recht 
ecke APQG und PB DR darstellen lasse, 
deren Grundlinien AP, PB zusammen AB 
Pig. 118. 
x ausmachen und deren Höhen die Anfangs 
ordinate AC und die Endordinate BD sind. 
7Ta P b 
§ 2. Erweiterung des Integralbegriffs. 
265. Eigentliche und uneigentliche Integrale. Die 
O O o 
Begriffsentwicklung des bestimmten Integrals 
h 
a 
wie sie in 218—219 erfolgt ist, gründet sich auf zwei wesent 
liche Voraussetzungen: daß die Funktion fix) in dem Inte 
grationsintervalle (a, h) mit Einschluß seiner Grenzen ein 
deutig bestimmt und stetig oder zum mindesten begrenzt ist 
(in welch letzterem Palle sie noch eine weitere Bedingung 
erfüllen muß (219)), und daß das Intervall (a, h) selbst 
endlich ist. 
Man kann nun den Integralbegriff in zweifachem Sinne 
erweitern; Einmal, indem man ihn auch auf solche Funktionen 
auszudehnen sucht, welche im Integrationsintervalle oder an 
seinen Grenzen unendlich werden; und dann, daß man ihn 
sinngemäß auch auf den Fall zu übertragen sucht, wo das 
Integrationsintervall nach einer oder nach beiden Seiten ins 
*) In dieser Form zuerst von Weierstraß in seinen Vorlesungen 
gegeben.