Dritter Abschnitt. Einfache und mehrfache bestimmte Integrale. 123 
Unendliche sich erstreckt, wobei selbstverständlich vorausgesetzt 
wird, daß die Funktion f(x) für alle reellen Werte von x 
definiert ist. 
Diese Begriffserweiterungen gründen sich darauf, daß das 
Integral der ursprünglichen Definition eine stetige Funktion seiner 
Grenzen ist (222, 8)). 
Man pflegt Integrale, bei welchen die oben angeführten 
Bedingungen bestehen und die demnach Grenzwerte von Sum 
men darstellen, eigentliche bestimmte Integrale, dagegen die aus 
der Begriffserweiterung hervorgehenden Integrale uneigentliche 
bestimmte Integrale zu nennen.*) 
266. Integrale unendlich werdender Funktionen. 
Wir beginnen mit der Untersuchung von Integralen unendlich 
werdender Funktionen. 
Die Funktion f(x) sei in jedem Teile {a, x) des Intervalls 
{a, b) endlich und stetig, werde aber unendlich groß bei dem 
Grenzübergange lim x =b — 0, oder, wie man sagt, an der 
oberen Grenze von (a, b). Dann ist, solange a < x < b, 
f f(x)dx = d>{x) 
a 
eine stetige Funktion von x, und bleibt sie stetig bei dem 
Grenzübergange lim x = b — 0, so definiert man den bestimm 
ten endlichen Grenzwert lim als das über (a, b) erstreckte 
x' = 6 — 0 
Integral von f{x), bezeichnet es wieder durch das Symbol 
b 
J f(x)dx und hat also dafür die erklärende Gleichung: 
a 
b x' 
(1) Cf(x)dx= lim j f(x)dx. 
a *' = 6-0" 
Die Stetigkeit von &(x') bei dem Grenzübergange lim x 
= b — 0 erfordert (17), daß sich eine linksseitige Umgebung 
(b — d, b) von b bestimmen lasse derart, daß für irgend zwei 
Werte x' < x" aus derselben die Differenz — </>(x) dem 
1) Diese Begriffsunterscheidung findet sich zuerst bei Riemann 
klar ausgesprochen. (Werke, S. 225.)