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Zweiter Teil. Integral-Rechnung. 
Wenn eine Funktion von dieser Beschaffenheit existiert, so 
muß sie notwendig eindeutig und stetig sein in dem Intervalle 
(«, ß), weil nur einer solchen Funktion an jeder Stelle ein 
bestimmter Differentialquotient in dem durch das Symbol (1) 
bezeichneten Sinne zukommt (20). 
Die Existenz einer Funktion, welche der Gleichung (2) 
genügt, vorausgesetzt, kann man mit den Hilfsmitteln der 
Differential-Rechnung zu einer formalen Lösung der durch (2) 
gestellten Aufgabe wie folgt gelangen. 
Es seien a, x zwei voneinander verschiedene Zahlen aus 
dem Bereiche (cc, ß). Man teile das Intervall (a, x) durch 
Einschaltung von n—1 Zwischenwerten x 2 , x A ,. . . x 2n _ 2 in 
n kleinere Intervalle (a, x 2 ), (x 2 , xf), . . . {x 2n _ 2 , x): um eine 
bestimmte Vorstellung zu haben, denke man sich die Zahlenreihe 
(3) 
steigend. 
Nach dem Mittelwertsatze (38) gibt es in dem Intervalle 
welches wir als das /o-te bezeichnen, mindestens einen Zwischen 
wert | 2 *-i derart, daß 
(4) F{öC 2 f) F(x 2k _ 2 ) — (X 2k ^2A-2)/(^2Ä-l)‘ 
Setzt man hierin nach und nach Je = 1, 2, . , . n — 1, so ergibt 
sich das Gleichungssystem: 
F(x 2 ) — F(d) = (x 2 - ä)f(&) 
F(xf) - F(x % ) = (a 4 - 
F{x) F(x 2 n _ 2 ) (x x 2n _ 2 )f(^ 2n _x) ; 
und durch dessen Summierung die Gleichung: 
F{x) — F{a) = {x 2 — a)f($f) + (a? 4 — x 2 )f{| 3 ) ff 
+ (® - v 3n -*)f(Js*n-i) 
n 
1 
Durch diese Gleichung ist die Änderung, welche die zu 
bestimmende Funktion bei dem Übergänge von a zu x erfährt, 
ausgedrückt, und zwar in Werten der gegebenen Funktion.